Heroes in My Heart by Escher

写给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们
写给那些
了解数学家和不了解数学家的人们
Heroes in My Heart
Edited by ukim
Heaven and Hell, by Escher
这 是我在北大未名bbs连载的66篇文章，讲的是数学家们的故事。从第一次发文到现在，已经将近三个月。在davibaby的帮助下，把这些东西编成这么一 个小册子，和bbs上的版本相比，这里的错别字要明显的少了，很多数学家的名字后面还加了中文的译名，不过，我还是想尽量保留bbs上的风格，从一开始的 发信日期到最后的签名档，都作了保留。希望大家喜欢。
发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: 从今天开始连载数学家们的故事
发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:20:15 星期六), 转信
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给那些喜欢数学和不喜欢数学的人们
给那些了解数学家和不了解数学家的人们
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在 北大混了四年，一事无成；在未名上bbs也呆了快一年了，制造了几千篇的垃圾。要毕业的人想法总是奇怪的，譬如说竟然真的要正经的写几篇文章了。最初写成 这些东西的时候，我发给了几个朋友，一个学数学的师弟说他很感动，一个非数学系的mm说她后悔当初没有选数学系，无论怎样，他们能这样子讲，我很感动，这 是发自内心的那种。现在的打算是每天贴2-3个故事，一直到欧毕业那天。很多事情难免有些too old,这个我也没有办法，激动人心的事情毕竟只有那么多。
不多说了，真心的希望大家会喜欢，哪怕只有一点点的喜欢。这些文字偶给了一个名字，叫做我心目中的英雄--- Heroes in My Heart
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美丽有两种
一是深刻又动人的方程
一是你泛着倦意淡淡的笑容
发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart ( 序)
发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:23:24 星期六), 转信
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To Music
For the Encouragement and Smiles She Gave Me
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序
废话几句。
多 年以前，我有一个很宏伟的计划，打算写一本厚厚的书。这本书有三部，第一部写那些数学牛人们的传奇动人荒诞不经的轶事，第二部充满着历史上最最经典的定理 最最美妙的证明，第三部去真实的纪录北大数学的这群烂人，写他们那脏乱的宿舍和芜杂的生活。这一直是一个理想，直到我动手写这些文字的时候，我知道，这将 永远是一个美好的梦。所以，这里只是那个计划的一小部分，讲述的是那些虔诚的人做过的虔诚的事。
第一次因为数学感动，是听到大人们讲华罗庚先生的 故事，不知道那时候多大，隐约记得他们说华先生去苏联算一个卫星的东西，怕他们把自己的算法偷去，于是所有的东西都是心算。故事的真实性自然不可信，不过 这很让小孩子神往。我要讲述的也是这么一些事情，很多都是高中和大一大二读过的，那是一段美妙的时光。美妙的东西希望大家一起分享，与人乐乐。
最 后，按照写序的一般格式，我来感谢一下应该感谢的人们。感谢knots陪我一起扭伤脚腕一起看遍好莱坞的美女，感谢hyson和我一起用两块八的牛奶煮 面，感谢alpha和我两次同居在那简陋的破屋里冻得瑟瑟发抖，感谢doudoulf那银铃般的笑声，感谢justinlee, mashimaro, aixuexi, transferrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同进行着富有想象力的意淫。是他们的存在，回忆这个词才有了色彩。
ukim
2002 – 4 – 1
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发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (1)
发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:25:02 星期六), 转信
Bernoulli 家族(1)
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Euler停止了生命，也就停止了计算。
——de Condorcet
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这是一个生产数学家和物理学家的部落，有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏。
John Bernoulli（约翰.贝努利）在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥 Jacobi.Bernoulli（加可比.贝努利）, 这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那 个杂志好像是Leibniz搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，John收的了5份答案，有他自己的，Leibniz的,还有一个 L.Hospital（洛比塔）侯爵的（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥Jacobi的，最后一 份是盖着英国邮戳的，必然是Newton（牛顿）的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子．”据说当年Newton从造币厂回去，看到了 Bernoulli的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了Fermat（费马）原理，用光学 一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想。
Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与
一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。"那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把此当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
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发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart ( 2 )
发信站: 北大未名站(2002年04月06日14:26:05 星期六), 转信
Bernoulli家族（2）
John 和Jacobi这两个Bernoulli家族的人，都算不出来自然数倒数的平方和这个级数，Euler从他老师John那里知道的，并且给出了π2/6这个正确的答案。Euler（欧拉）是他那个时代最伟大的数学家。
法 国有一个很著名的哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄 神学的，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是 证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……
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发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (3)
发信站: 北大未名站(2002年04月07日11:04:46 星期天), 转信
四色定理
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证明是一个偶像，数学家在这个偶像前折磨自己。
——A.Eddington
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一 次拓扑课，Minkowski（闵可夫斯基）向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就 来证明它……”于是Minkowski开始拿起粉笔。这节课结束的时候，没有证完，到下一次课的时候，Minkowski继续证明，一直几个星期过去 了……一个阴霾的早上，Minkowski跨入教室，那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，Minkowski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了， 我的证明是不完全的……”
1942年的时候，Lefschetz（莱夫谢茨）去Harvard做了个报告，Birkhoff （伯克霍夫）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在Princeton有没有什么有意思的东西。Lefschetz说有一个人刚刚证明了四色猜想。 Birkhoff严重的不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到Princeton的Fine Hall去，Fine Hall是Princeton的数学楼。
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标题: Heroes in My Heart (4)
发信站: 北大未名站(2002年04月08日10:20:40 星期一), 转信
做数论的人(1)
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从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。
——Hardy
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Lev Landau（朗道）这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach（哥德巴赫）猜想之后的感觉。术业有专攻呀......
Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显的难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了29，……”
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发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (5)
发信站: 北大未名站(2002年04月09日10:40:38 星期二), 转信
做数论的人(2)
由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： xn + yn = zn 没有解,对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。
Hilbert（希尔伯特）曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann（黎曼）猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深
的 吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事就死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始 致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路 走，应该有可能证明Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数.....”众人皆倒。
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发信人: ukim (我没有理想), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (6)
发信站: 北大未名站(2002年04月10日10:03:50 星期三), 转信
做数论的人（3）
有 一个人叫做Paul Wolfskehl（沃尔夫凯勒）,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝，感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决 定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最 后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆， 随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数 学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟 云……这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat
定理的人10万马克……,这就是Wolfskehl奖的来历。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (7)
发信站: 北大未名站(2002年04月11日10:29:16 星期四), 转信
Gottingen的传说
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Gottingen市政厅底层的墙上直言不讳的镌刻着：
“Gottingen以外没有生活。”
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1854 年，Riemann为了在Gottingen（哥廷根，这是二战之前数学和物理的中心，德国著名的学府）获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学 的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber（韦伯）的回忆 说，当演说结束后，Gauss（高斯）怀着少见的表情激动地称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲学，尽管这样 子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却花了将近100年的时 间。
有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物 理学家的看法，与数学家没有关系。一次，Helmholz（霍姆霍兹）和Weiestrass（外而斯特拉斯）一起外出度假，Weiestrass随身带 了一篇Riemann的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静静地研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helmholz大惑不解，他
认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要这么花功夫呢？
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (8)
发信站: 北大未名站(2002年04月12日08:28:49 星期五), 转信
Gottingen 的传说
Klein （克莱茵）上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种 数学家，一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类，也 不属于第二类，于是Klein不是数学家。
Wiener（维娜）去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？ 女管家训斥道，枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位，譬如说Newton。Wiener见到 Klein的时候，感觉就像去拜佛，后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变的不再有任何意义”。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (9)
发信站: 北大未名站(2002年04月15日13:02:25 星期一), 转信
Gottingen的传说
关 于Klein 还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare（庞 卡莱）的故事，说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的，对于2维的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs（富克斯）的名字来 命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他 自然觉得很不妥。后来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体力不支，身体都垮了，从此结束了自 己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。
当时王老师也特别想讲这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情，还是让这个法国人讲了。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (10)
发信站: 北大未名站(2002年04月15日13:16:54 星期一), 转信
Gottingen的传说
开始讲D.Hilbert（希尔伯特）吧
David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论文答辩，需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。 Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授特别少。Berlin只有3名数学教授，一般的 大学至多2个。
Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢的去捍 卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也 有类似的话。
Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道的数学家。那时候，Minkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“...他还‘存在’么……。”
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (11)
发信站: 北大未名站(2002年04月16日09:12:06 星期二), 转信
Gottingen的传说
一次在Hilbert的讨论班上，一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理，Hilbert说:“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？”那个年轻人茫然的站了很久，对Hilbert说：“是你……”。
Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻地拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是肯定的”，年轻人感激而笑。
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标题: Heroes in My Heart (12)
发信站: 北大未名站(2002年04月17日08:47:17 星期三), 转信
Gottingen的传说
H.Weyl （外尔）刚去Gottingen的时候,被拒之”圈”外。所谓的圈，是指Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar（哈尔）等一群年轻人，大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉。一次，大家在等待Hilbert来上课，Toeplitz指着远处的 Weyl说：“看那边的那个家伙，他就是Weyl先生。他也是那种考虑数学的人。”就这样子，Weyl就不属于“圈”这个集合了。这个故事是 Courant讲的，Haar当时是Hilbert的助手，Gottingen当时的人们无一不认为他将是那种不朽的数学家。但是事实证明，Weyl的伟 大无人能比，尽管Haar在测度论上贡献突出，但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”。
von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明 了他的优秀，他和von Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女孩子选择了Weyl。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (13)
发信站: 北大未名站(2002年04月18日09:24:11 星期四), 转信
Gottingen讲得太多了吧，先停几次，说些别的，然后再讲。
先 介绍一个人，L.V.Ahlfors（阿尔夫斯）, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds奖。Fields奖就相当于数学中的Nobel奖。我知道他的一部分工作，就是展示给大家复分析和双 曲几何之间的深刻联系，把曲率之类的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射，Riemann曲面领域都有非 凡贡献。
下面是一个很传奇的事情，希望那些认为数学“没有用”的看看数学家是如何认为数学有用的。
L.V.Ahlfors说这些话的时 候，正是二战受封锁的时候。“Feilds奖章给了我一个很实在的好处，当被允许从芬兰去瑞典的时候，我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元 钱。我翻出了Fields奖章，把它拿到当铺当了，（！！！！）从而有了足够的路费…… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……。”
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (14)
发信站: 北大未名站(2002年04月19日09:42:32 星期五), 转信
再讲几个小事情，都是蛮有意思的那种。明天继续Gottingen
这 一个是因果循环的。Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章，希望Fredholm（弗莱德霍姆）能够欣赏，但是Fredholm根本 就没看；F.Riesz写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；M.Riesz写了很多文章，希望F.Riesz能够 欣赏，但是F.Riesz根本就没看……。
再来一个苏联大牛的。39年的时候，Kolmogorov（柯尔莫果洛夫）决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是，70岁的时候，他突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。
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标题: Heroes in My Heart (15)
发信站: 北大未名站(2002年04月20日11:08:29 星期六), 转信
Gottingen 的传说
开 始讲一下Edmund Landau（艾德蒙.朗道，另一个著名的朗道是俄国的物理学家）的故事。E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论 超强，而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他的住处，他很轻描淡写的说：“这个没有任何困
难，它是城里最好的那座房子。”
1909-1934年的数学系主任就是Edmund Landau了。Landau的工作习惯很奇怪，用6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大定理的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的
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亲爱的_____
谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。
第一个错误在______页______行
这使得证明无效。
E.M.Landau
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尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高。
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标题: Heroes in My Heart (16)
发信站: 北大未名站(2002年04月21日11:27:43 星期天), 转信
Gottingen的传说
继续讲Landau的故事和Landau讲过的故事
E.Landau 是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus（斯坦豪斯）的博士考试 需要一个天文学家的提问。Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关三体问题的微分方程的时候，大声的说：“啊， 如此说来，他知道这个……。”
A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的 Dedekind（戴德金）和他絮叨了一下午的废话，Dedekind狠狠地抱怨当年Guass（高斯）对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别 难的问题。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (17)
发信站: 北大未名站(2002年04月22日08:20:59 星期一), 转信
Gottingen的传说
两个间接的和Gottingen的人有关系的事情Dehn（戴恩）是Hilbert最得意的弟子之一，曾经率先解决了一个Hilbert问题。
Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架 子，全部都是Springer-Verlag的黄皮书。Springer-Verlag应该说是对数学物理的传播发展推动最大的出版社了。
Poincare （庞卡莱）也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor（康托）的集合论，Zermelo（策梅罗）当时恰好证明了每个集合都可以良序化， Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道：“Zermelo那个 几乎独创的证明也应该彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。Courant（柯朗）甚至认为
Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。
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标题: Heroes in My Heart (18)
发信站: 北大未名站(2002年04月23日10:08:59 星期二), 转信
Gottingen的传说
Caratheodory 是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师，26 岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。” 他选择的学校是Gottingen.
W.F.Osgood（奥斯古德）是原来Harvard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲 稿。他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大，Osgood做事都模仿 F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。
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标题: Heroes in My Heart (19)
发信站: 北大未名站(2002年04月24日09:09:09 星期三), 转信
Gottingen的传说
从明天开始，再也不说Gottingen了
由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部长问Hilbert，Gottingen的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了。”Gottingen从那时开始一蹶不振。
这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候自己的工作得不到承认，譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。
Grassmann （格拉斯曼）最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。 Grassmann自己不得不放弃数学这个没有前途的职业，花了不少功夫在印度的梵文上，把一个叫做Rig-Veda的印度古经译成了德文。所以 Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。
在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann写的维数论，标题页上面用铅笔写着 Minkowski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字，清楚的表达了Grassmann的成就：“新版本将比 三十多年前收到更多的尊重。”
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标题: Heroes in My Heart (20)
发信站: 北大未名站(2002年04月25日09:00:12 星期四), 转信
开始讲述Einstein（爱因斯坦）和他的广义相对论，作为从Gottingen的故事到其他故事的一个过渡，选一句永远让我心驰神往的话
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关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是可以被理解的。
——Albert Einstein
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Einstein 构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给 Hilbert等很多数学家做过几次报告，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不 久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题，Hilbert很坦诚地说：“Gottingen马路上的每一个孩 子，都比Einstein更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。”
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标题: Heroes in My Heart (21) -- to mashimaro
发信站: 北大未名站(2002年04月26日08:45:39 星期五), 转信
这篇文章是欧连载的第21篇，献给欧的室友mashimaro。他刚刚在这个世界上混迹了21个年头，今天是他的22岁生日。祝愿他和fayejay两个人永远快乐开心
说两个听来的故事，讲的是这个世界上最漂亮的一套理论------广义相对论。
据说，Einstein的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild（施瓦茨查尔德）解，是同名的这个人，在一战的战壕里给出的。Schwarzschild是Gottingen的天文学的教授。
Edditngton （艾丁顿）是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是讲他如何吹牛的。Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington, 说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍， Eddington说：“我正在想谁是第三个人……。”
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一是你泛着倦意淡淡的笑容
发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (22) to myself
发信站: 北大未名站(2002年04月27日09:21:17 星期六), 转信
谢谢那些每天都来读我的文章的人，这篇送给我自己了。希望那些伟大的人们在天有灵保佑我吧。
这个故事是一个gg告诉我的：-），还是讲Einstein，不过没有提到很地道的数学家
似乎每一个伟大的人物都以和Einstein交谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见Einstein的时候，过于激动，以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么。Lev Landau，苏联最伟大的
那 个物理学家，就说自己当年参加某会议的时候，有幸和Einstein说过几句话，而有某个认识Landau的人说Landau纯属幻想，当时此人和 Landau一起，坐在那次开会的大厅的最后几排，连听都听不清，根本不可能谈话。可见Landau对Einstein的景仰程度。
不过另一个版本说Landau在下面指出了爱因斯坦犯了一个错误，Einstein说他不需要听他的演讲了。这是一位英国物理学家后来回忆当时的情景，Je vous remercie, 由于你的存在，更多的光明照在了神州大地。
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发信人: ukim (X人|闭关第一天), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (23)
发信站: 北大未名站(2002年04月28日10:58:29 星期天), 转信
讲几个Einstein和数学家的事情
Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。
Einstein是Minkowski的学生，旷了无穷多的课，至于多年以后，Minkowski知道了Einstein的理论的时候，感叹道：“噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能有这样的作为。”
一次，P.Halmos（哈尔莫斯）和妻子遇到了Einstein和他的助手，Einstein很想知道“她”是谁，助手就说是Halmos的妻子，然后
Einstein又问Halmos是谁……，Halmos最没有面子的一次。
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发信人: ukim (X人|闭关第一天), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (24)
发信站: 北大未名站(2002年04月29日10:33:33 星期一), 转信
开始写毕业论文了，先写一个和论文有关系的东东
A.Coble 是上个世纪美国的院士，做代数几何，一度很有影响。据称，他有无穷多个博士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情 况，然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况，而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。
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讲完了Einstein, 继续John von Neumann (冯.诺伊曼)应该是符合道理的，这个造计算机的数学家。当我们每次用电脑Game的时候,就应该对Neumann示以最崇高的敬意。
Neumann 的就业态度。von Neumann移居美国的动机，很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法，发现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3，而候补的人数期望为 40，这是一个不理想的就业前景，所以到美国去势在必行。这就是他的根据，此时并没有涉及到政治的形势。
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发信人: ukim (真的想成为X人:-(), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (25)
发信站: 北大未名站(2002年04月30日12:09:18 星期二), 转信
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阿基米德比荷马更有想象力。
——伏尔泰
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继 续冯.诺伊曼的表演。von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该 先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到 有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑的都算出来，然后算出那个无穷的级数……。”
Banach（巴拿赫，波兰天才数学家）在1927年参加一个数学聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌Neumann，最终Neumann不胜酒力，去了厕所，估计是呕吐。但是Bananch回忆道，当他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打断他的思路。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (26)
发信站: 北大未名站(2002年05月01日12:02:26 星期三), 转信
最后两个关于冯.诺伊曼的故事,祝大家五一节愉快
von Nuemann的年纪比Ulam（乌拉姆）要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每 次Nuemann就会评论道：“她们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅地走过，Neumann认出她来，并和她交谈了几句，他告 诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问：“你干吗不娶她？”后来，他们两个结了婚。
一次Princeton举行的物理演讲，演讲者拿出一个幻灯片，上面极为分散的排列着一些实验数据，并且他试图说明这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣，低声抱怨道：“至少它们是在同一个平面上。”
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (27)
发信站: 北大未名站(2002年05月02日12:57:31 星期四), 转信
五一节，休息一下,每天贴一个
数学有害健康，大家过节了还是不要看书的好。
下面是历史上最天才的几个数学家在这个时间轴上存在的长度：
Pascal 39岁；Ramanujan 31岁；Abel 27岁；Galois 21岁；Riemann 39岁。身体重要的说。
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数学家是天生的，不是造就的。
——H.Poincare
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de Moivre （棣莫佛）21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会，他在一个公爵家里做客，刚好Newton送来了自己的《原 理》，他信手翻了一下，惊奇的发现，数学竟然是如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书，尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够 带在口袋里，空闲时进行研究。
de Moivre有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事情。
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (28)
发信站: 北大未名站(2002年05月03日11:05:39 星期五), 转信
来说一个古老一点的人物
Pascal （帕斯卡）据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力 于神学，他认为上帝对他的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思考一点数学问题来打发时间，不知不觉间， 竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天的安排，所以继续开始做数学家。Pascal
这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。
神学也是Newton最终的选择。:-))
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发信人: ukim (X人), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (29)
发信站: 北大未名站(2002年05月04日11:00:10 星期六), 转信
Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一，在很多很多的领域做出了开创性的工作；Cauchy(柯西)就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了。今天我们就来说这两个姓柯的牛人。
Kolmogorov 关于数学天赋的见解。当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下，要知道后面那个亚历山大罗夫是很伟大的一个数学家。柯牛人认为，一个人作为普通 人的发展阶段终止的越早，这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿 和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov（亚历山大罗夫）是16岁。
Lagrange（拉格朗日）曾经预见了Cauchy的天才，苦心的告诫Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当）。:-))
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标题: Heroes in My Heart (30)
发信站: 北大未名站(2002年05月05日12:54:36 星期天), 转信
说几个数学家作为教师的生涯吧，大部分出名的人物讲课都不是太出色，或者说偶尔会很失败。譬如说Newton 当初就经常对着空空的讲堂，他讲东西第一不是太清楚，第二太难，所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。
从一些大家不是太熟悉的人讲起。
Mondelbrolt （孟得尔布罗特）是靠着画分形出名的，其实他的叔叔，Mandelbrojt（孟得尔布罗特）是个更为出色的数学家，曾经是Bourbaki最早的几个成 员。他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学，去了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课，然而Goursat上课永远用一种 语气，讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课，Mandelbrojt感觉和自己梦想当中的课差的太远，竟然哭了出来。不过，几年后， Bernstein来到巴黎，安慰Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。
遥想当年Mandelbrojt那求知的感情，是多么的纯真。那种东西，似乎已经再也不属于我们这个时代。
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标题: Heroes in My Heart (31)
发信站: 北大未名站(2002年05月06日11:00:10 星期一), 转信
还是有的数学家讲课不错的。
Lebesgue（勒贝格）尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的受欢迎; Picard（毕卡）则是个古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。
和Lebesgue一起，是一件很开心的事。据说，Lebesgue的课，总是有无穷的人去听课的，大部分人因为Lebesgue讲课不但深刻，而且很有意思。一次，一个国外的学者来法国报告自己的工作，Lebesgue说你不用报告了，我替你报告吧。:-)
Picard 总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近。每次Picard上课的时候，前面有一个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室，在椅子上放有一杯水， Picard先喝一口水，然后开始讲课，大约半个小时，他再喝一口水，一个小时以后，那个银链子校役就会来请他下课。
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标题: Heroes in My Heart (32)
发信站: 北大未名站(2002年05月07日09:47:43 星期二), 转信
Lindemann（林德曼），也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的几个人之一。此处收集他的故事两则，一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小事，还是蛮可爱的。
传说中Lindemann讲课大部分时间根本就听不清，听清的话都是不可理解的听不懂的话，而少数情况下，他讲的话又清楚又听的懂，那就是错话。
Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少，尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家，听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个，其中却有一人是因为教室里暖和。
Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一件事，那里有一把椅子，是当年Jacobi坐过的。：-））
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标题: Heroes in My Heart (33)
发信站: 北大未名站(2002年05月08日09:02:15 星期三), 转信
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优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似
卓越的数学家则从类似中间看到了类似
——Banach
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毋庸置疑，Lefschetz和Wiener都是这种可以从相似之间看到相似的数学家,不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。
Rota 曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的 Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲 一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听 懂。：-）
Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的 事情，Wiener天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评 论：“他必须离开这里，他不会说北京话……。”
下一次说一些法国数学家的事情。
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发信人: ukim (真的想成为X人:-(), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart （34）
发信站: 北大未名站(2002年05月09日11:29:14 星期四), 转信
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数学家犹如法国人：无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言，于是就成了全然不同的东西。
—— 歌德
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法国的数学家就可想而知了。:-))。从最天才的人谈起，他就是群的
创始人。
Galois （伽罗华）一共参加了2次Ecole Polytechnique的考试，第一次，由于口试的时候不愿意做解释，并且显得无理，结果被拒了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都 是马马虎虎，一般懒的写清楚,并且拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到 困惑，后来Galois感觉很不好，一怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的，不过personality是少 一点了，后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人，是当时法国最好的枪手，Galois的勇气令人钦佩。两个人决 斗的时候，相距25步，Galois被击中了腹部。
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标题: Heroes in My Heart (35)
发信站: 北大未名站(2002年05月10日08:50:10 星期五), 转信
1856 年的时候，Hermite（赫尔米特）患了严重的天花，病好之后，经过Cauchy（柯西）大力怂恿，竟然皈依了罗马的天主教。就在这个期间，他和德国的 Fuchs（富克斯）一直通信联系，于是，Klein说Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分，可 以参见这个系列文章的(9).
在一次国王接见Cauchy的时候，他有五次回答国王的问题时都这样说：“我预料陛下将问我这个问题，所以我准备好了答案。”然后，他从口袋里拿出笔记本，照本宣读。
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发信人: ukim (如果今天能够开心的过去), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (36)
发信站: 北大未名站(2002年05月11日12:25:56 星期六), 转信
法语是一种恐怖的语言，Birkhoff是上个世纪初美国最著名的数学家之一，一个西方人学习法语，按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候，还是遇到了麻烦。
Hadamard 曾在法国主持讨论班，有很多人慕名而来，Birkhoff就这样子来到了法国，不过他的法语实在太差。那几天，巴黎一直下雨，一天Birkhoff见到了 Mandelbrojt问：“一周......几次？”大概中间的词他不会发音。Mandelbrojt说：“两次。”“什么，两次？” “是呀，礼拜二和礼拜五。”“怎么可能呢？”“下午三点半开始，五点之前就结束了。”“这个绝对不可能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了。
后来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是讨论班的时间，而是什么时候下雨。
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发信人: ukim (Galois是我永远的痛), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (37) 献给未名Science的版聚
发信站: 北大未名站(2002年05月12日09:54:44 星期天), 转信
祝贺未名Science版聚成功,4个报告成功，ggmm们高兴地说
especially to 5 persons: ruster,yyf,daijianium,lunagrass and arben
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所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界，一座冰宫。但他们还生活在普通世界里，事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清。数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则成了婴儿。
——S.Cappel
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说3 个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard（哈达玛），最出色的法国数学家之一，无论在几何，分析哪个方面，都是经常那种用名字来修饰“定 理”这个词的人；一个是Lebesgue（勒贝格）,实变函数论的创始之人，其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做Montel（蒙特尔）,相对于前两个 人不是那么出名，不过在复分析当中有一个极其重要的概念，叫做Montel正规族，就是用他的名字命名的。
这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的 （不好意思，要么Hadamard就是从Ecloe Polytechnique毕业的），Hadamard是他们那一届的第二名，一生都对那个第一名不忿，尽管那个人作为数学家来说和他严格不是一个档次； Lebesgue和Montel是同一级的学生，分别是当年的第三和第二名，两个人一生都是很好的朋友，据说那个他们同一届的第一名仍然在数学方面和他们 不能相提并论。
先说Hadamard的诡异嗜好。
他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者，一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集这些东西，把妹妹放在一个冰河旁边，采完了之后就自己兴冲冲的回家了；他这种马虎一直改不掉，到了40年的
时 候，他成功的在忘了带护照的情况下，从法国动身去了美国；当然，蕨类植物也是他一生的最爱，老年的时候，他去莫斯科访问，Kolmogorov和 Aleksandrov陪同他坐船，Hadamard忽然很兴奋的让他们靠岸，自己激动的站在船头，最后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类 植物。
再说Lebegue和Montel, 他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发生。
一次，Lebesgue打电话（那个 时候有电话，大概很富有了）给Montel讨论一个事情，两个人各持己见，吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）也没有结果；第二天早上， Lebesgue又给Montel打了一个电话，说我开始同意你的说法了，然而Montel说我也同意你的了，于是又开始争吵。
今天不小心写了好多的说：-））
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标题: Heroes in My Heart (38)
发信站: 北大未名站(2002年05月13日10:09:18 星期一), 转信
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穿过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是：
“不懂几何者请勿入内。”
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昨天Science版聚，讲到了一个和倍立方有关的小故事，也就是如何用直尺圆规做一个正方体它的体积是给定的正方体的2倍。当然这
个 问题用一点域扩张的知识，就可以证明是做不到的，和三等分已知角一样的。最初，在雅典流行瘟疫，人们很恐慌，就去求助于神，神谕说要使得瘟疫消失的充要条 件是把一个立方体神坛重新建为一个体积是原来2倍的。按照古希腊的规矩，就是要用尺轨作图。于是大家去问Plato（柏拉图）, Plato说这是神的旨意，用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。
回过头来说法国。法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange （拉格朗日）写出了他著名的分析力学的书的时候，就骄傲的宣称书中“没有一个图”；A.Weil（魏依）在教师资格考试时，理论力学交了白卷，他认为那根 本不算数学。A.Weil就这样子，曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情，提到量子力学的时候，Weil根本不知所云，尽管当时Hilbert, Bohn, Heisenberg都在做量子论。后来，Chevally和Weil在悼念Weyl的时候，根本不提Weyl的物理学的成就，然而大家公认Weyl最有 名的两本书一本关于相对论，一本关于量子力学。
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标题: Heroes in My Heart (39)
发信站: 北大未名站(2002年05月14日09:53:58 星期二), 转信
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11岁的时候，我开始学习Euclid的书，并请我的哥哥当我的老师。这是我生活中的一件大事，犹如初恋般的迷人。
——B.Russell
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第39篇，写伟大的却不到40岁的Riemann（黎曼）。在100多年后
的今天，他的思想还是能够让人们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意。
Riemann 的父亲是个牧师，家里特别的穷，从小体弱多病，也打算做牧师。有一个人（据说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部 Legendre（勒让德）的数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂。六天之后，Riemann就找到那个人把这本 859页的名著还了，说：“这本书的确十分的精彩，我已经看懂了。”这个时候Riemann只有14岁。
Riemann19岁的时候去Gottingen读神学，平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在图书馆里。一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作，如获至宝，读完之后，便坦然的决定放弃神学，从此开始读数学了。
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标题: Heroes in My Heart (40)
发信站: 北大未名站(2002年05月15日10:32:47 星期三), 转信
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天行健
君子以自强不息
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昨天有人批评说这个系列的文章有一种过分吹捧天才的倾向,我觉得批评的特别有道理, 每一个数学家的成功除了他们的天分之外，更加让人们钦佩的是他们完全忘我的疯狂如自杀般的工作。
今 天举两个牛人，Siegal(西格尔)是那种很聪明又很努力的，而Kodaira(小平邦彦)自己经常说自己天资不好，但是他从中学开始就是那种做事情一 丝不苟全身心投入的人，他回忆自己第一次学习van de Wearden的《代数学》，几乎学不懂，然后就开始抄书，一直到抄懂为止，可见得Feilds奖的人的学习方法也不见得先进，唯手熟尔。
Siegal曾经说过，他可以从早上9点起，研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”，被Kodaira称为勤奋，可见其勤奋程度是何等的可怕。
Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8: 00起床，剃须，穿西服，外出早餐（玉米片，牛奶，咖啡）；散步到研究所，大约9:30；9:40--10:40 Siegal的关于三体问题的课； 11:15--12:00 Weyl的讨论班；到食堂吃午饭；坐车去Priceton，1:20--2:20在自己的讨论班上讲论文；回家继续写论文；5：30到街上的餐馆吃饭；回 家继续工作到深夜。
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标题: Heroes in My Heart (41)
发信站: 北大未名站(2002年05月16日09:58:05 星期四), 转信
开始说说波兰的数学家，从Banach（巴拿赫）开始, 最最伟大的波兰数学家。Banach在数学界的登场是一段美丽的传说: -))
1916年的一个夏夜，Steinhaus（斯坦豪斯）在一个公园里散步，突然听到了一阵阵的谈话声，更确切的是有几个词让他感到十分的惊
讶，当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫不犹豫的走向了谈话者的长椅，原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说：“Banach是我一生最美的发现。”
波 兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学，Kuratowski和Steinhaus是有钱人，他们一般在高档的罗马咖啡馆里谈论数学；Banach, Ulam和Mazur穷一些，整天呆在一个苏格兰咖啡馆里，那里的老板挺不错，即使过了营业时间，也不会赶他们。这样子很多年轻的数学家都来到这里，每次 有什么重大的发现，就纪录在一个大的笔记本来，并保存在店里，这就是著名的苏格兰手册。当然，老板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消耗大量的啤酒， 据说有一次聚会长达17小时，其间，Banach不停的饮酒， Ulam说Banach是难以超越的,英文的原文是difficult to overlast and to overdrink Banach。
德国人在二战的时候，需要大量的寄生虫繁殖疫苗，于是就雇佣了很多波兰人，把装有寄生虫的盒子戴在他们的手腕上，以人体作为寄主。Banach曾经就拥有这么一个盒子，其报酬是不会像Saks一样被杀死。一半以上的波兰数学家死于战争。
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发信人: ukim (X人|活着....), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (42)
发信站: 北大未名站(2002年05月17日10:27:41 星期五), 转信
肚子疼... :"-(( ,弄两个充一下数
一个故事说M.Stone的父亲可爱的语言；另外讲了一个Harvard的数学教授，这个人到底做过什么出色的工作，我也不知道，只是其中提到了30年代的教学情况，特别好玩。
M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书，他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的说：“我困惑又很高兴，我的儿子写了一本我完全不理解的书。”
1932年J.J.Gergen不得不在一门讲授Fourier级数课程时，不使用一致收敛的概念，原因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。
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发信人: ukim (X|G.L.K.), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (43)
发信站: 北大未名站(2002年05月18日12:11:59 星期六), 转信
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我不知道世人怎样看我;可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子，不时的为拾到更光滑些的石子或更美丽些的贝壳而欢欣，而展现在我面前的是完全未被探明的真理之海。
——Issac Newton
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这段话不同于牛顿说的那段“站在巨人的肩上”，因为“肩上”那句话是他出来吹捧一下Hooke(胡克),或者说讽刺一下，那个时代总是为着各种东西的发明权而喋喋不休。
Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交
他都是因为他很高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放声大笑。:-))
对 很多人来说，牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽，确实不如一块肥皂有用。数学家做的事情的确是这个样子，一种孩子般的游戏，追求一种纯粹的快感。Newton之 后的几百年，Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy（哈代）也说过这种话：“从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零。”
既然扯到Hardy就说说他的轶事吧。他这个人有着各种怪癖，譬如永远不会希望见到镜子之类的，每次到一个旅馆，总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不说这些乱七八糟的，说一下子他用“数学”解决的恐船症。
Hardy 每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜 想回来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类似于Fermat大定理的事情。
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标题: Heroes in My Heart (44)
发信站: 北大未名站(2002年05月19日10:56:38 星期天), 转信
前天闲极无聊，去下载一个叫做百年大讲堂（凤凰中文台的节目）
的东东看，其中是王诗宬老师的讲座，讲的是纽结。这个以前看过若干遍了，但是看完之后依然有一种冲动。本来在已经写好Hero系列中有王老师的，不过不打算来post，现在还是忍不住。这两次就说两三个很小很小的事情，有历史上的人物，有王老师。平行的叙述。：-））
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比做学问更重要的是做人。
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Erdos（艾尔多斯）的Wolf奖金由5万美元之多，他却只留下了720美元，其余的都捐给了以色列作为奖学金。他说：“我记得有人告诉我说720美元在我已经很多了。”
Baire （贝尔）是个公认的大好人，由于数学上的贡献，得到了瑞士颁发的一份奖金，有1000法郎之多，结果最后拿到了1500法郎。Baire就问他的朋友 Montel说：“竟然多了500法郎呀。我该怎么办，是应该给一位学生发奖学金，还是自己买一件外套？”Montel建议买外套。
王老师90年代初，得到了一份3万元的奖金，他全部捐给了希望工程，90年代初3万块钱的概念大家是清楚的。
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再 说一段王老师的评论，记得看过Atiyah的一个小册子，他评论道Thurston能够自如的看到高维的复杂图形，Thompson可以“看”到一个群。 Thurston和Thompson都是得过Feilds奖的人。王老师给我们上课的时候，也做过这样的评论，说只要听懂了Thurston的一句话就可 以写一篇论文，E.Witten就是一个神。呵呵…不过他说得更有意义的是紧接着的评论，说数学家有很多种，一种是像Thurston这个样子的，很聪 明，所以做的工作很出色；另外一种是尽管天资不是很出众，但是自己能够耐得住寂寞，非常的刻苦，所以后来也是很出色的。
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发信人: ukim (X|G.L.K.), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (45)
发信站: 北大未名站(2002年05月20日11:24:09 星期一), 转信
今天再讲一个王老师的故事，也是他上课时候随口说的。他说的主持讨论班这个人就是那种工作特别刻苦，又有不错的机遇，最后做出了很大的成就。好像是Freedman吧，记不得了。
先 说一个历史上很类似的故事。Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客，恰好E.Landau去玩。Landau在当时是成了名的前 辈，于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间，一个老先生对Levi-Civita讲，最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工 作很出色，Landau问到那是谁呀？ Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人，是波兰人；那个人也不叫Mondebroht，叫Mandelbrojt；那个人其实就是 我……
做一个注释，上次有人说Mandelbrojt的拼写有错误，这欧又去核实了一下，至少这个拼写的存在性是可以肯定的，可能并不唯一。反正他是现在那个最出名的做出了美丽的分形图片的Mondelbrolt的叔叔。
王老师也有类似的经历。当年在Berkeley的一个讨论班上，一个牛人主持，讲解一篇论文，王老师在其间提了一些很不错的想法。课下，那个牛人问阁下贵姓？“姓王。”牛人说，太巧了，我们今天讲的论文也是一个姓王的中国人写的。“那就是我……”
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标题: Heroes in My Heart (46)
发信站: 北大未名站(2002年05月21日07:58:13 星期二), 转信
开始说一下mm数学家...... :-))，打算post3篇
她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就，但是我们依然能够发现她们的事迹中有很多的伟大，很多的美丽。
从 古希腊说起吧。那个时候，的确是一个很民主的时代，对于女性的歧视要远好于后来，譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的，譬如说 Pythagrass（毕达哥拉斯）学派当中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓励女性学者，当年有个兄弟会之类的东西，里面就有28个女孩, 其中有一个叫做西诺的，后来就被Pythagrass骗去做老婆了。这个女孩在当时是个比较有影响的数学家。Socrates(苏格拉底） 和Plato（柏拉图）也曾经邀请过女性去他们的学院讲学。
从他们往后，女性在很多的行业中受到了歧视，在哲学数学自然科学这些领域更是如此了。
有 一个令人心痛的故事，讲的是Hypatia (西帕蒂娅)，她处的时代就是Plato他们往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学家了（在那个时代），她的演讲很出名，而且解题也是 高手，其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找他询问一些题目的做法，她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚，她回答说她已 经和真理订了婚。不过Hypatia后来极为悲惨，
有个叫做Cyril的什么教长之类的人，声称数学家哲学家这帮人为异端，对他们大加残害，手段令人发指。在一个封斋的日子里，Hypatia被从马车上拖到教堂，剥光衣服，身上的肉被一群狂暴的人用牡蛎的壳刮了下来。
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标题: Heroes in My Heart (47)
发信站: 北大未名站(2002年05月22日11:19:07 星期三), 转信
mm数学家之二
话说时光飞逝，转眼间从古希腊来到了18世纪的意大利。尽管从物质生活到文化的各个方面，比起希腊，已经大大的发展了，但是女性的地位相对来说还是一如既往的得不到重视。
有一位被认为是当时欧洲最出色的数学家的女数学家，叫做Maria Agnesi(玛丽亚.阿涅西） 像她这样出色数学家，在欧洲还是没有研究机构愿意提供给她职位，尤其是法国这样的国家，更是对她不屑一顾。
她 有一篇关于曲线的切线的文章尤为出名。但是意大利语中曲线一词叫做versiera，好像在拉丁文还是什么文字当中是avversiera的缩写，后面这 个词意思是“魔王的妻子”。于是Agnesi研究过的一段曲线(versiera Agnesi)翻译成英文的时候，就被叫做Agnesi的女巫，后来，有一段时间，大家都这么称呼女数学家。
在关于女数学家的记载当中，很少有关于她们容貌的描述的，不过
要说的是还是有ppmm做了数学家，上个世纪在偏微分方程方面，Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡娅）无疑是最优秀的数学家之一。她本人绝对是个一流的美女，据说当初Weiestrass也被她的美貌深深的吸引。
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发信人: ukim (X|G.L.K.), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (48)
发信站: 北大未名站(2002年05月23日10:17:29 星期四), 转信
mm数学家之三
每每读到她为什么选择了数学，总让我心池荡漾。
在 所有的欧洲国家中，法国对女性的歧视(学术上的)尤为严重。Sophie Germain(索菲.热尔曼)就出生在这个国家。Germain当初读过一本讲Archimedes（阿基米德）的书，说当初他老人家专心的研究一堆沙 子组成的几何图形，以至于一个罗马士兵问他话他充耳不闻。那个士兵一怒之下把Archimedes杀死了。Germain认为，一个人可以如此的痴迷于一 个东西以至于置生死于不顾，那么这个东西一定是世界上最美的最迷人的。于是她选择了数学。
开始Germain的父母强烈反对，没收了她的墨水蜡烛 之类的东西，然而，Germain痴心不改，终于感动了父母，一生父亲都支持她的数学工作。1794年，Polytechnique在巴黎建校，尽管这里 盛产数学家，但是却只接受男性，于是Germain化名为Le Blanc偷偷的混进去旁听，当然，当时确实有一个人叫做Le Blanc，估计这个人比较喜欢旷课，反正他一直不到，Germain得以在那里好好的读书，几
个月之后，她的任课老师Lagrange发现了一个很牛的学生，Germain不得不说她其实是女儿身。Lagrange毕竟不同于一般的人，他很高兴有这样的一位朋友，并乐于做Germain的导师。
Germain 不久对数论尤为倾心，可能受Lagrange的影响吧，她年轻的时候靠变分法出名，年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat 大定理，她把自己的结果寄给Gauss，令Gauss特别的欣赏，她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的。当然，她还是怕Gauss对女性有偏 见，于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来，拿破仑的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙，于是给自己的朋友，也就是当时统领三军的 一位将军写信，这位将军果然对Gauss很为关照。
Germain后来又在物理上面做了很多东西，尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上的突 出贡献，她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是以某位成员的夫人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年，Gauss说服了 Gottingen大学，授予Germain名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年，未能亲自带上那令人骄傲的帽子。
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发信人: ukim (X|G.L.K|开心的做人妖), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (49)
发信站: 北大未名站(2002年05月24日09:33:37 星期五), 转信
mm数学家之四
这是欧说的最后一位mm数学家，也是最最伟大的一位，Emmy
Noether(埃米.诺特).
她对20世纪的数学的影响无以伦比，提到抽象代数就不得不提一下Noether。最最著名的一本抽象代数的书van de Wearden的代数学就是采取的Noether的讲义。E.Artin, van de Wearden等人都是她的学生。
尽 管这样子，Noether在Gottingen的同事Edmund Landau还是拒绝给她讲师的职位，并说“...当我们的士兵发现他们在一个女人脚下学习的时候，他们会怎么想?”不得不说Landau不招人喜欢。最 让人不能容忍的是有人问她Noethor是否是一个伟大的女数学家的时候，他说：“我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点，我不能发 誓."
不过，伟大如Einstein和Hilbert的这样的人都对Noether推崇备至。Einstein曾经说Noether是“自妇女开 始受到高等教育以来最杰出的最富有创造性的数学天才”，Hilbert则支持Noether去争取一个讲师的职位，并反驳Landau说：“我不认为候选 人的性别是反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。”看来Hilbert当时有点怒了。
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发信人: ukim (make论文中...), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (50) -- to elapse
发信站: 北大未名站(2002年05月25日12:10:28 星期六), 转信
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四年终究有些遗憾.
----- mashimaro
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这是偶的室友的一个签名档，比“遗憾总是难免的”说起来好听，但是是等价的。很多数学家于垂暮之年回首往事，也总是发出这样那样的感慨，与常人无异。
从Hadamard说起，原来讲过他是个和蔼的老头，数学好的不得了，人也是这个样子，上个世纪初还来过清华讲过课。每每谈及往事，Hadamard总是很惋惜的说道一辈子有两件事情特别的后悔。
第一个在数学方面，他很早就找到了Jensen公式，由于没有发现很精辟的应用，一直就没有发表，结果Jensen抢先了一步。
第二个是物理方面，关于狭义相对论，他也是很早就有了这样的想法，只不过没有时间深入下去，后来Einstein就发表了。
其 实Hadamard最不能忘怀的事情，决不是上面两件，而是关于自己当初考试的。以至于年纪大的时候，仍然耿耿于怀，甚至到俄国和Kolmogorov都 提这件事。就是Hadamard做学生的时候，参加数学的会考（相当于数学竞赛吧），得了第二名，第一名后来也是一个数学家，Hadamard对 Kolmogorov说：“事实证明后来他做得没有我好，其实他一直没有我好。”
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发信人: ukim (remake论文中...:-(), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (51)
发信站: 北大未名站(2002年05月26日00:46:06 星期天), 转信
当初Fermat（费马）证明不了东西时候，就写下了这句话
Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe detex marginis exiguitas non caparet.
翻译成中文就是：“我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里的空白太小，写不下。”
后来，Hilbert也会了类似的技巧，有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理，他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅，因为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了。不过个人认为他没有能力杀死这只鹅。
还有另外一个和金蛋有关的事情，不过和数学家没有关系。当初欧洲的反法联军快攻到巴黎的时候，Ecole Polytechnique的学生要求上战场，保卫国家，拿破仑说：“这怎么可能呢，我不能为了打赢一场战争，杀死一只会下金蛋的母鸡吧。”
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发信人: ukim (life is important), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (52)
发信站: 北大未名站(2002年05月27日03:51:18 星期一), 转信
熬夜写东西,无聊之际,过来说一个不学数学的人一般不知道的人吧刚刚看到了和他有关系的一个定理的说:-))
H.Whitney （惠特尼）是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作，譬如说向量丛的Stiefel-Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理，说每 一个n维的流形都浸入一个2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果。北大的图书馆里还有
他的论文集的。
很难想象,他本人一开始竟然不是学理科的.
Whitney 的本科时候读的却不是数学，话说他学业完成，到欧洲大陆去玩，大概是到了Gottingen还是什么地方了，反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理 学家（不是海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座. 等讲座结束之后，Whitney什么也没听懂感觉极其不爽，于是找到了那个主讲的人，说，先生，我觉得你做的讲座很不成功。主讲的教授很纳闷，就问他说为 什么。Whitney回答说，我可是Yale大学的优等的毕业生，你讲的东西我竟然听不懂，这难道不是你讲的有问题么。那个教授继续问,你是读什么专业 的。Whitney回答说,我是读小提琴的..... 教授大大的分特了，说这个我也没有办法，你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础的课，于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等...
Whitney回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了. 当然他是非常刻苦的, 数学的历史上还是有很多这种大器晚成的例子的.
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发信人: ukim (life is important), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (53)
发信站: 北大未名站(2002年05月28日10:58:42 星期二), 转信
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上帝之所以存在，是因为数学是相容的
而魔鬼之所以存在，是因为我们不能证明数学是相容的。
——Andre Weil
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一 个很有意思的事情，很多很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐，一个很出名的例子就是爱因斯坦。数学家当中也是这个样子，大家在做完了数学之后，也会醉 心于此。譬如说E.Artin,一个上个世纪影响最大的代数学家之一，据说钢琴的弹奏水平极高，尤其是特别的严格，好像他做的代数一样；譬如 Courant，和Artin比起来路子要野蛮一些，水平也要低些，不过热情毫不逊色，还经常邀请Artin到家里演奏一番；再譬如说J.Nash,这个 人大家比较熟悉，刚刚演的A Beautiful Mind说的就是他，他原来就喜欢绕着Princeton的Fine Hall游荡，并且嘴里吹着口哨，后来一个得了Feilds奖也得了Wolf奖的人数学家J.Milnor还说，他第一次听巴赫的音乐就是通过当时 Nash（纳什，看过电影美丽心灵的人都知道他）的口哨声。
更有甚者，譬如Dieudonne（迪奥多内）, 这个法国数学家，不但喜欢弹琴，更是能记住很多很多的乐谱，据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次，Dieudonne和P.Cartier去音乐会，他指着手里的节目单说：“乐队的演奏漏了一个字符……”
再 譬如说，Fox, 一个美国的拓扑学家，在60年代的时候，提到这个名字，就相当于提到了低维拓扑这个方向，他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄虚， 据说，在一次音乐会上，Kodaira（小平邦彦）和他一起，不料这次的演奏时不时的停顿，而且有声音的时间要少于没有声音的。Kodaira感到特别不 好听，Fox叹息道：“这是受了禅影响之后的音乐，我正在试图从无声之中听出有声。”
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标题: Heroes in My Heart (54)
发信站: 北大未名站(2002年05月29日11:19:08 星期三), 转信
上一次说到了很多数学家都喜欢音乐。不过我的看法是似乎比较“古老”一点数学家的业余爱好要少一些，当然有可能是关于他们的记载要少一些，不过我觉得他们更能够集中精力，全身心的投入。从阿基米德，牛顿到高斯，黎曼，似乎出了研究之外。很少关心别的事情。
譬 如说Gauss(高斯)。听说过一件极其变态的事情，但是从另一个侧面我们也可以知道他不仅仅是天分出众，更重要的是努力。Gauss中年的时候妻子就死 去了，那个时候，Gauss就很有名望，家里有保姆。妻子病的一塌糊涂，不过他还是专心自己的研究。这个当然不是一个值得称道的品质。就是妻子的弥留之 际，他还是没有去她的身旁，保姆实在看不下去，就去Gauss做研究的地方去找他说让他赶快过去，Gauss随口答应了，但是依然做自己的东西。保姆又来 了一次，痛斥了他一番，岂知Gauss告诉她说：“我马上就过去，你让她再等一会……”
在譬如说J.Nash, 大家只是知道他的天才，却很少提到他的努力。钟开莱(Kai Lai Chung)在Princeton的时候，遇到了这么一件事情。说一下，这个姓钟的人是一个很重要的华人数学家，在概率方面很有作为。他去一个很有名的休 息厅，适时恰是秋季的清晨，休息厅里空空荡荡，寂静异常，就像教堂的感觉一样。大厅中间的巨大的桌子上面，乱七八糟，全都是草稿纸，一个人躺在上面，正愣 愣的思考。这正是Nash，很显然这又是一个不眠之夜，他一直在考虑数学.
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标题: Heroes in My Heart (55)
发信站: 北大未名站(2002年05月30日10:25:39 星期四), 转信
说几个和监狱有关系的事情，做数学这个东西的确不同于很多学科，只要有一个场所可以供以静坐，有纸笔可以演算，这个世界的一切都无所谓。
最 最著名的故事就是关于Leray的事情，他是法国Bourbaki学派的创始人之一。最初的时候，他做的是分析，在流体力学和力学方面卓有贡献。后来二战 爆发，Leray作为法国的军官参战，40年代的时候，被德国人抓到了集中营里。德国人在战争方面对于科技的重视使得他们对每一个数学家和物理学家都是很 关注的，而Leray做的是分析，很有可能被德国人关起来去做各种各样的用来杀人的弹。为了避免这件事情的发生，他就以代数学家自居，在狱中的时候依然努 力的做研究，出狱的时候，发表他的那套对后世影响至深的层论（Sheaf Theory）。
还有一个关于S.Lie（萨布尼斯.李）的传说，这个 人就是李群的那个Lie. S.Lie当年普法战争的时候呆在法国，由于普鲁士口音太重，被法国当局投入监狱，后来法国战败，大概恼羞成怒，准备杀掉这帮人，幸亏Darboux想方 设法把Lie从那里救了出来。一个传说时，Darboux到达牢房的时候，发现他这位朋友竟然静静的坐着研究数学，而他在研究的东西正是著名Lie群。
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标题: Heroes in My Heart (56)
发信站: 北大未名站(2002年05月31日10:19:15 星期五), 转信
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弄清π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的
但是如果我们能弄清楚
那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚
——E.C.Titchmarsh
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昨天提到了两个在监狱里做出了大手笔的数学家，还有一个和监狱有关的趣事，这个发生在Gottingen, 主角是E.Landau, 这个人在前面提到了多次，解析数论大家，巨富无比，人高傲自大，也蛮可爱的，除了当初对我们尊敬的Noether姐姐不恭之外。
Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西，当他讲到这里的时候，振振有词的评论道：“这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。”
Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候，不得不有人跳出来指出他的错误：“第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三，也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面，而在Yale大学。”:-))
顺便说说这个“Jibbs”碰到的事情，Yale曾经连续7次拒绝向著名的物理学家Gibbs发薪水，理由是认为他的研究没有意义。
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标题: Heroes in My Heart (57)
发信站: 北大未名站(2002年06月01日11:21:42 星期六), 转信
中国有句古话说名师出高徒，说的是你如果和高手一起切磋，整日耳濡目染，会不知不觉学到很多很多东西。大多数数学家的老师都是很牛的数学家，可能Gauss和Newton这样的人除外，他们不需要老师的。
有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树，几个月后，他就不得不放弃，因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学家，他的学生一般来说越多，受到他影响的人也就越多。
再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上，Tarski请Sierpinski的学生举一下手，大部分人都举了手，然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手，所有人都举了手。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。
最后我列举一下一些数学家的师承，这个不完全，其实是很不完全，希望大家补充的说：
Dirichlet 是Riemann的老师，Wierestrass是Cantor, Killin和Frobenius的老师，Noether是van de Wearden和Alexandroff的老师Hardy是Wiener的高等数学的老师，Hermite是Dini的老师，Hadamard是
Frechet 的老师，Kronecker是Kummer的老师，Sylow是S.Lie的老师，Hodge是Atiyah的老师，Gauss的小学老师是 Lobachevsky的大学老师，Hilbert是无穷多个人的老师，Kummer的妻子是Dirichlet的表妹，Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿
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标题: Heroes in My Heart (58)
发信站: 北大未名站(2002年06月02日12:34:11 星期天), 转信
据中国的古话说职业一共有365种，反正是很多了，应该说作为数学家，从收入上来说是相对比较少的，这个相对的意思是从付出的努力到最后真正得到的钱的比值的倒数。
这里给一个1959--1960年度Chicago大学数学系教授的工资情况，这里的每一个数学家都是大名鼎鼎的：
Stone 20000 $ Albert 16000 $ S.S.Chern 16000 $ Maclane 16000 $ Zygmund 16000 $ Kaplansky 13000 $ P.R.Halmos 13000 $
其实好像也不少了，那个时候是50年代末，有这么多钱肯定衣食无忧了，这也是为什么美国的数学家能够专心研究吧。
从现在来看，好像学数学收入更少了，很多人出国读数学没几年就转行了，毕竟计算机经济之类的专业转化为生产力的速度更快。
说到了转行的事情，想到了一个“内部周转”的事情，Spencer在离
开英国去Princeton的时候，Littlewood去火车站送他，叮嘱：“不要改行。”于是，Spencer研究了10年Bieberbach的系数问题，后来终于受不了了，改做复流形，没有多少工夫就和Kodaira一起发表了他们著名的工作。
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标题: Heroes in My Heart (59)
发信站: 北大未名站(2002年06月03日11:02:31 星期一), 转信
说一说数学家之间的恩怨，由于门派喜好乃至政治上的分别，他们之间也往往有些小小的过节。
法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件，这是对法国的政局甚至日常生活影响很深的一个政治的风波（至于具体是什么，我也不知道，不过上面的信息对理解后面数学家们的行为已经足够了）。
Hadamard 个人算是一个Dreyfus派的人，不过他个人当然是对政治事件很淡的那种人了。适值那年的元旦，按照巴黎高等师范学校的传统，年轻的老师要给年长的老师 拜年。Hadamard于是跑到Hermite那里去拜谒一下子，Hermite本身是个反Dreyfus的人，看到Hadamard来拜年，第一句话就 说：“你是个叛徒！”Hadamard很难理解这句话：“为什么？”Hermite本身做分析，而且个人固执的看不起几何等分支，那时候Hadamard 有一项关于曲率曲面的文章很是著名，Hermite就对Hadamard说：“你为几何而背叛了分析。”
Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说：“由于你是数学家，我很尊重你。”言下之意，已经很明显了。不过Picard这个人一向目
中无人，无论对谁都是贬多褒少，一个有意思的事情说，Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告，看到了Nicolas Bourbaki的名字，说：“呃，这些外国人。”要知道Bourbaki是一些法国很出色的年轻数学家的化名。
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标题: Heroes in My Heart (60)
发信站: 北大未名站(2002年06月04日10:20:15 星期二), 转信
继续说数学家们之间的过节。整体而言，做学问的人总是让人尊敬，很少有令人讨厌的。要说几个人，他们的学问的确是一流的，但是在同行里的口碑却不是很好。
第一个要说的人是Koebe, 此人作为数学家还是很出色的。但是从做人的方面来说，极为自负（其实对于数学家而言，这一点很可爱）而令人讨厌，偶尔剽窃年轻人的想法。
Courant （柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目，当时Koebe恰好也要报告，但是，Courant是年轻人，按照不成文的规矩，他是初学者，而且刚刚完成了博士论文，有 特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候，Koebe迫不及待的说：“我先讲。”
后来Courant的朋友很愤怒，在Koebe的课上，把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面，Koebe最终找出了这个发声的东西，引起哄堂大笑。不久，他的朋友在当地的报纸上公开了这个恶作剧。
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标题: Heroes in My Heart (61)
发信站: 北大未名站(2002年06月05日13:38:00 星期三), 转信
数学史上还有两个大师级的人物，同样的是学术很好，但是名声不济，和很多人有这样那样的误会和矛盾。
第 一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用他的名字。此人身体瘦小无比只有5尺高，当初经商和务农很牛，赚了一大笔钱，30 岁之后致力于数学。他在德国算是很权威的人，但是特别烦的是，很专断，根本不相信无理数的存在。当初Linderman和他讨论π的问题的时候，他竟然说 这个东西根本不存在; Cantor后来疯了，很大程度上是因为Kronecker的废话太多；据说Weiestrass都差点被他弄哭了，就是因为他对无理数抱有一种病态的看 法。
第二个人就是Brouwer,直觉学派的领头人，感觉上特别象当年的Kronecker，对于和自己不同的意见不能容忍。他称Hilbert 等人为敌人，认为无穷这个东西是不存在的，不仅如此，凡是有人不同意的话，他总是想方设法刁难。他原来是某一著名杂志的主编，别人寄来的文章通常都是高置 于案头，没有一年半年他决不会给人家发表。一次，他和van de Wearden一起在朋友家里做客，后者讲到了Hilbert和Courant，并且以朋友相称。这时候，Brouwer竟然一怒之下，拂袖而去。
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发信人: ukim (一天天长大), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (62)
发信站: 北大未名站(2002年06月06日00:02:47 星期四), 转信
三个做作业的故事,他们的作业很难的说
第 一个是被大家称为线性规划之父的Dantzig (丹齐克)，据说，一次上课，Dantzig迟到了，仰头看去，黑板上留了几个题目，他就抄了一下，回家后埋头苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这 件事情真的对不起，作业好像太难了，我所以现在才交，言下很是惭愧。几天之后，他的老师就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很 ft, 后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。据说，这个方法是上个世纪前十 位的算法。
第二个和上面的类似，Milnor（米尔诺，得过Feilds奖和Wolf奖，特别有影响的一个数学家，现在还健在，但是听说因为年纪 大了，没有人给他研究基金，让这个老人很痛苦）在Princeton大一的时候，上课得知Borsuk的一个和全曲率有关的东西，误以为是家庭作业，几天 之后搞定了，后来就发表在年鉴上面。
第三个讲的是Arnold, 先说一下背景，有一个很著名的问题叫做“三体问题”，粗略的说就是研究一下像太阳月亮地球这样的三个行星在万有引力的作用下，最终会不会相撞。伟大如 Poincare之类的人，都只是部分解决了这个问题。再介绍一下Arnold的老师Kolmogorov, 一个苏联的大师，可以说是活在20世纪的前三位的数学家（如果可以排名的话），过几次说说他的故事。Kolmogorov对这个问题有了兴趣之后，着实花 了些功夫，后来他觉得离着解决差不多的时候，
干脆就把这个问题留成了一道课外作业，Arnold他们就奉命去写作业，若干时日之后，终于成功的解 答了这个东西，当然他的贡献是特别大的，很多关键的想法都是自己创的，所以最后这个问题的解答所形成的定理叫做”KAM”，KA就是他们师徒俩人，M则是 一个美国数学家Moser,也曾对这个问题做了很多的工作。
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发信人: ukim (宁可食无肉), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (63)
发信站: 北大未名站(2002年06月07日09:39:28 星期五), 转信
提 一个匈牙利的数学家，学过Fourier分析的人应该对他很熟悉，他就是Fejer。关于他的数学水平可以用Poincare的评论来证实，Fejer关 于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四做的，1905年的时候，H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖，很多政界的人都去接见， Poincare见面就问：“Fejer在哪里？”众人面面相觑：“Fejer是谁？”Poincare说：“Fejer是匈牙利最伟大的数学家，也是世 界上最伟大的数学家之一。”
其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家，而是因为Poincare的哥哥原来是法国的总理什么的，一般来说，政界的人对于谁是数学家并不关心，要不也就不至于不知道Fejer了。
据说，Fejer比较喜欢到处乱说话，有两件事情来证明。Fejer和Riesz的关系很好，但是他比Riesz晚生了两个星期，于是，就到处声称他其实比Riesz要大，因为Riesz早产了；Fejer和Kerekjarto不和，
后者是一个拓扑学家，Fejer说Kerekjarto说的话和真理只不过是拓扑等价。
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发信人: ukim (法国不出线我就出家), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (64)
发信站: 北大未名站(2002年06月09日18:36:07 星期天), 转信
Kolmogorov (1)
这是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一，在实分析，泛函分析，概率论，动力系统等很多领域都有着开创性的贡献，而且培养出了一大批优秀的数学家。特别的用两次的时间来介绍他，因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇，更是有着丰富多彩经历。
Kolmogorov 一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一篇和牛顿力学有关的文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为倾心，一次，他写了一篇很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学 里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是 Kolmogorov开始了他数学的一生。
二十年代的莫斯科大学，一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试；但是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以，Kolmogorov从来没有参加一门考试，他写了十四个不同方向的有新意的文章。Kolmogorov后来说，竟然有一篇文章是错的，不
过那时考试已经通过了。
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发信人: ukim (法国不出线我就出家), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (65)
发信站: 北大未名站(2002年06月09日18:58:40 星期天), 转信
Kolmogorov (2)
不说他老人家在数学上的成就了，因为实在太多，譬如说上同调环这个东西他也是独立发现的。专心的说一下他的轶事。
Kolmogorov 总是以感激的口气提到斯大林：“首先，他在战争年代为每一位院士提供了一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架。”Kolmogorov一次在选举会 上打了Luzin一个耳光，他说：“（打架）那是我们常用的方式。”Luzin在实变函数方面有着很重要的贡献，但是以打架而论，远非 Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。
一个人如果打架很牛的话，经 验告诉我们他必然身体强壮，而Kolmogorov的确很擅长运动，并经常以此自诩。譬如说，他经常提到一件事情，并且深以为憾，三十年代的一个冬天， Kolmogorov身穿游泳裤雪橇，在得意的飞速下滑，碰到两个戴相机的年轻人请他停下来，他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照，结果他们请他为他 们拍照。再譬如说，39年的时候，他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任，结果以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是，70岁的时 候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。
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发信人: ukim (法国不出线我就出家), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (66) the last one
发信站: 北大未名站(2002年06月10日11:09:37 星期一), 转信
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有一条小路，穿过田野，通向新南盖特，我经常独自一人到那里去看落日，并想到自杀。然而，我终于不曾自杀，因为我想更多的了解数学。
——B.Russell
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就用下面的一篇作为这个系列的结束吧，R.Thom是法国人，35岁得的Fields奖。
在 一次采访当中，作为数学家的Thom同两位古人类学家讨论问题。谈到远古的人们为什么要保存火种时，一个人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一个 人类学家说，因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而Thom说，因为夜幕来临之际，火光摇曳妩媚，灿烂多姿，是最美最美的。
美丽是我们得数学家英雄们永恒的追求。
（全文终）
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发信人: ukim (法国不出线我就出家), 信区: Mathematics
标题: Heroes in My Heart (后记）
发信站: 北大未名站(2002年06月10日11:09:44 星期一), 转信
后记
感 谢那些每天来看我连载的人，感谢每一个喜欢这些故事的人。我根本没有想到会有这么多人喜欢，尤其是我如此拙劣的文笔，谢谢大家。最初选Hero作为题目， 是因为那时候想起了Mariah Carey的一首歌，叫做Hero。我不知道这六十多篇文字，是否真的勾勒出这些英雄们的桀骜不驯娇憨可爱，是否真的描绘出这些英雄们在追寻美追寻永恒的 历程中，满心的痴狂惊人的努力。
说正事，这个后记基本上来说说文献，就是这些东西的出处。
第一本叫做天才引导的历程, 作者是威廉·邓纳姆，一个美国人。这本书是我高中读过的，其中有若干经典的证明譬如Euler的求自然数平方倒数和的那个伟大的类比（尽管不严格），更好的一点是，书中有若干有意思的小故事，即使不喜欢读证明，依然是很有趣味。
第 二本或者说第二和第三本是Constence Reid为Hilbert和Courant写的传记，写书的女士不是数学家，所以行文更流畅故事更多。第一次知道这本书是个巧合，大概是二年级的时候，我 去图书馆的电脑上随便检索，发现在Weyl的词条下，有一个说是Hilbert的文集有Weyl作的注释，这种经典自然要去翻翻，但是按索书号却是 Reid的书，英文版的。今年，中文版的书也出了，我用的很多的话都是中文版的书中的。
第三本是Ulam（乌拉姆）的自传，叫做一个数学家的经历，是一本上海科技出的红色的小册子，本人两年前在国林风卖旧书的地方以2元的价钱购得，书中讲了他不是太传奇的一生，用了很多笔墨
去写von Neumann。
第四本是P.Halmos的自传，叫做我要做数学家，有20几块钱，好贵，我从alpha那里借来看过，不是太有趣味，因为行文过于冗长，但是长的一个好处是故事多，而且Halmos这个人就是喜好吹牛。
第五本是Nash的传记，名字是普林斯顿的幽灵， 讲述Nash的故事，我这里不知道贴了多少，最近由于A Beatiful Mind这部片子的缘故，Nash变得特别的出名，大家不妨去看看这本书，还是很有趣的。
其 他的书引用的不多，这里列一下，有一本书叫做一个数学家的辩白， 作者是Hardy（哈代），此书还附有Weiner（维纳）的自传；一本是Newton（牛顿）的传记，名字大概就是牛顿传吧，记得序言的第一句话是说历 史上为某人立传而不需要理由的牛顿当之无愧的算第一个；还有一本是A.Einstein(爱因斯坦)的传记，具体哪一本忘了，估计都差不多。至于其他其他 的书譬如讲Erdos的数字情种和另外一本比较著名的数学精英，欧倒是没有读过，据说都是很好的传记性质的书。
还要提一下一本杂志，中科院出的，叫做数学译林， 在北大图书馆的四楼就能找到， 每次在图书馆里无聊的时候，我就去翻看上面的故事，这个杂志堪称为给数学系学生看的最好的杂志了。其中不但有很多传记和历史，还有前沿的数学工作的介绍，经典的东西的回顾。
以上这些书的并集，也许不能完全的包含这几十篇东西，那么其差集就是平时老师同学讲的故事和某些专业书里作者随手插的花絮。
到这里就真的结束了吧，要毕业了。又想到了一个小故事是Halmos的，他写了一本著名的书叫做Measure Theory，当他完成此书的时
候， 心中喜悦难以抑制，向众人宣布:“我刚写完了Measure Theory的最后一个字！！”有人问:“最后一个字是什么？”Halmos当时愣住了，连忙赶回办公室，再跑回来，告诉他们说是什么什么。我也写完了， 最后一段话和本文无关，写给远在千里之外的一个女孩，每一天到bbs上的时候，我总是假设你也上bbs,你也来看我的连载，希望你能喜欢这些故事哪怕只有 一个，尽管你不喜欢数学也不喜欢我。
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Internet上免费全文科技期刊

Internet上免费全文科技期刊

VERY GOOD

http://www.hznet.com.cn/zwqk/index.htm

我把数学部分贴出来

数 学

Inverse Problems

http://www.iop.org/Journals/Catalogue/index.html


有关不等式的研究和解法。

ISSN 0266-5611

custserv@ioppublishing.co.uk


　

Journal of Internet Group in Pure and Applied Logic

http://www.oup.co.uk/jnls/igpl/


该期刊涉及应用逻辑学领域，包括逻辑系统、证明理论、模型理论、递归理论、类型理论、人工智能、逻辑和计算机、逻辑语言、逻辑工程学。

ISSN 1367-0751

h.ohlbach@doc.ic.ac.uk


　

Universitatis Iagollonicae Acta Mathematica

http://www.emis.ams.org/journals/UIAM


该期刊是同名杂志的电子版本，文章用英语出版。

ISSN 0083-4382


Mathematica Pannonica

http://www.emis.ams.org/journals/MP/index.html


该期刊是印刷版“奥地利数学期刊”的电子版，由奥地利数学协会出版。

ISSN 0865-2090


Matematicki Uesnik

http://www.emis.ams.org/journals/MV/index.html


该期刊（季刊）成立于1949年，由塞尔维亚数学学会出版。

ISSN 0025-5165

kadelbur@matf.bg.ac.yu


　

Rediconti dell’Instituto di Matematica dell’Universita di Trieste

http://w3dsma.univ.trieste.it/noframes/rendiconti.html


出版数学方面的文章。

ISSN 0049-4704

mitidier@univ.trieste.it


　

Journal of Applied Statistics

http://www.carfax.co.uk/jas_ad.htm


该期刊为商业、计算机、经济、生态学、教育、管理、医学、社会学等行业中使用统计学的人提供一个交流场所。

ISSN 0266-4763


Journal of Fourier Analysis and Applications

http://www.crcpress.com/


有关傅立叶分析及应用的数学期刊，特别注重理论和科学应用的结合,文章采用pdf形式。

ISSN 1069-5869


Proceedings of the American Mathematical Society

http://www.ams.org/proc/


有关应用数学和纯数学方面的研究，按月出版。文章从1950-1991，1996年至今，采用pdf,dvi,html,postscript,tex形式。

ISSN 1088-6826（electronic）

ISSN 0002-9939（paper）

webmaster@ams.org


　

Beitrage Zur Algebra and Geometrie

http://www.emis.de/journals/BAG/


几何、代数及相关领域的研究，每年出版两次。

ISSN 0138-4821

wegner@math.tu-berlin.de


　

Documenta Mathematica

http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/DMV-J


有关数学的许多方面。

ISSN 1431-0643

louis@num.uni-sb.de


　

Electronic Transactions on Numerical Analysis

http://etna.mcs.kent.edu


有关数值分析和科学计算方面的研究。

ISSN 1068-9613

ruttan@etna.mcs.kent.edu


　

Journal of Convex Analysis

http://www.emis.de/journals/JCA/index.html


由baffalo大学图书馆搜集的电子期刊，从1994年起，每年出版两次，关于动态计算、控制理论、方法论、不等式、积分方程、最优化计算等。文章采用dvi、postscript形式。

ISSN 0944-6532


Bulletin of the American Mathematical Society

gopher://www.ams.org/journals/bull/


由美国数学学会提供的数学研究季刊。

ISSN 0273-0979


Mathematics of Computer Science

http://www.ams.org/mcom/


由baffalo大学图书馆搜集的电子期刊（季刊），提供1960-1991、1996年的文章，涉及数值分析、数学计算方法的发展及代数学的相关方面，并提供全文检索和搜索AMS期刊的功能

ISSN 1088-6842（electronic product）

ISSN 0025-5718（paper product）

webmaster@ams.org


　

Electronic Journal of Differential Equation

http://ejde.math.swt.edu/


这是由baffalo大学图书馆提供的电子期刊，刊登数学方面的高质量的文章，从1993年至今，按作者、主题排列，采用dvi、pdf、ps、tex形式可下载Acrobat Reader、GhostScript、Packages软件。获取文摘：

subs@ejde.math.swt.edu

其他：editor@ejde.math.swt.edu

Documenta Mathematica

http://www.math.uiuc.edu/documenta/


期刊主页中的“the journal articles”下有V2（1997）、V1（1996）,文章采用Ps、gz、div形式。

ISSN 1431-0643（Internet）

ISSN 1431-0635（Print）

rehmann@mathematik.uni-bielefeld.de


　

Electronic Journal of Combinatorics

http://ejc.math.gatech.edu:8080/journal/jo...ournalhome.html

有关离散数学的许多方面，组合逻辑、分析、算法等。

ISSN 1077-8926

calkin@math.gatech.edu


　

Electrical Combinat

http://www.combinatorics.org/previous_volumes.html

提供从1994年到1998年的文章和摘要，摘要采用HTML形式，全文有tex、dvi、ps和pdf形式。


Electronic Transactions on Numerical Analysis

http://etna.mcs.kent.edu/

这是由baffalo大学图书馆提供的电子期刊（季刊），从1993年至今，关于数值分析和计算领域的新的重要的发展，采用html、postscript形式。

ISSN 1068-9613

enta@mcs.kent.edu

Electronic Communications of Probability

http://math.washington.edu/~ejpecp/

内 有两种期刊，一种是Electronic Journal of Probability（ejp）,另一种是Electronic Communications of Probability（ecp）,都包含从1996年到1998年的全文，采用ps、dvi等形式，并提供关键词检索功能。

ISSN 1083-6489（ejp）

ISSN 1083-589X（ecp）

ejpecp@math.washington.edu


　

Geometry and Topology

http://www.math.warwick.ac.uk/gt/

这是一种关于几何学和拓扑学及其应用的期刊，提供1997年及1998年的全文，采用ps、pdf形式

ISSN 1364-0380

gt@maths.warwick.ac.uk


Journal of Graph Algorithms and Applications

http://www.emis.de/journals/JGAA/accepted/home.html

这是互连网上的新的电子期刊，拥有著名的顾问和编者，具有相当高的科学水平。文章采用pdf 、ps形式。


New York Journal of Mathematics

http://nyjm.albany.edu:8000/nyjm.html

纽约数学期刊提供1994年到1998年的文章（pdf形式），并可按年代检索每年的目录。

ISSN 1076-9803

mark@math.albany.edu

Theory and Applications of Categorics

http://www.tac.mta.ca/tac/

提供从1995年到1998年的目录、文摘、全文。每年的目录、全文用ps、dvi形式，文摘采用html形式。

ISSN 1201-561X


Journal of Fonctional and Logic Programming

http://scholar.lib.vt.edu/ejournals/JFLP/jflp/


JF LP是一个新的期刊，其内容覆盖函数、逻辑等较广的领域，并将函数、逻辑理论应用到实际中。其主页中News“Volume 1997”内有全文（dvi或 postscript）,More information（Article）下有1995年到1997年的全文。

ISSN 1080-5230

jflp.request@ls5.infomatik.uni-dortmund.de


　

Acta Mathematica Universitatis Comenianae

http://rattler.cameron.edu/EMIS/journals/A...AMUC/index.html


这是由Baffalo大学图书馆搜集的电子期刊，关于纯数学和应用数学方面的研究，文章从1991年至今，采用dvi和postscript 形式。

ISSN 0862-9544

amuc@fmph.uniba.sk


　

Annales Academiae Scientiarum Fennicae Series A.I. Mathematica

http://geom.helsinki.fi/Annales/Anna.html


由baffalo 大学图书馆提供的电子期刊，关于数学领域特别是分析数学的综述性文章，从1992年至今，采用dvi、postscript形式。

Tuulikki.makelainen@Helsinki.fi

Archivum Mathematicum

http://rattler.cameron.edu/EMIS/journals/AM/index.html

由baffalo大学图书馆提供的电子期刊（季刊），从1992年至今，目录采用html 形式，全文采用postscript形式。

ISSN 0044-8753

archmath@math.muni.cz


　

The Australian Mathematicle Society Gazette

http://www.maths.unsw.edu.au/amsweb/Gazett...te/gazette.html

目录、文章采用pdf形式均可下载。


i.doust@unsw.edu.au



Electronic Research Announcements of the American Mathmatical Society

http://www.ams.org/journals/era/


这是由baffalo大学图书馆提供的电子期刊，由美国数学学会发表的关于数学各个分支的高质量文章，从1995年开始，并提供检索AMS期刊和全文的功能。

ISSN 1079-6762

era-submit@math.ams.org


　

New York Journal of Mathematics

http://nyjm.albany.edu:8000/nyjm.html

由CIC电子期刊搜集的有关数学方面的学术期刊，提供从1994年起的文章，采用dvi、postscript、hyperTex形式，并可进行全文检索。

ISSN 1076-9803

mark@math.albany.edu

reprints@math.albany.edu

Notices of the American Mathematical Society

http://www.ams.org/notices/


概述数学方面的最新研究成果，研究方向和指导，文章从1995年起，每月出版。

ISSN 1088-9477（electronic）

ISSN 0002-9920（print）

webmaster@ams.org


　

Theory and Applications of Categories

http://www.tac.mta.ca/tac

有关代数范畴和方法的研究及其在数学科学中的应用。文章从1995年至今，每年出版一次，采用dvi,postscript形式。

ISSN 1201-561X


European Series in Applied and Industrial Mathematics（Control,Optimisation and Caculus of Variations）

http://www.emath.fr/Maths/Cocv/

有关控制计算领域的期刊，用英文和法文出版，可选择。

ISSN 1262-3377

cocv@esaim.emath.fr


European Series in Applied and Industrial Mathematics

（Probability and Statistics）

http://www.emath.fr/Maths/Ps/ps.html

有关概率和统计方面的期刊，文章采用ps,dvi形式。

ISSN 1262-3318

esaimps@esaim.emath.fr

Contributions to Algebra and Geomety

http://rattler.cameron.edu/EMIS/journals/B.../BAG/index.html

由baffalo大学图书馆提供的电子期刊，成立于1971年，每年出版两期，包括代数、几何、代数几何以及相关领域。其文章从1993年至今，采用dvi、postscript形式。

ISSN 0138-4821

wegner@math.tu-berlin.de

常微分方程的几何理论(教学大纲，井竹君）

常微分方程的几何理论

Geometrical Theory in Ordinary Differential Equations

课程编号：S070101Z08 课程属性：专业课 学时/学分：60/3

预修课程：数学分析、线性代数、常微分方程、点集拓扑

教学目的和要求：

本课程为从事动力系统理论和天体力学研究的硕士，博士研究生的专业课，同时也可作为从事物理，化学，生物，工程和经济等学科研究的硕士，博士研究生的选修课。

本课程主要内容为常微分方程定性理论，主要的扰动方法，简化动力系统方法，结构稳定性，分支和混沌理论初步。通过本课程的学习，希望学生初步掌握研究微分方程和动力系统的基本思想和方法，并为深入研究动力系统理论，分支和混沌理论打下理论基础。

内容提要：

第一章 引言-微分方程和动力系统

向量场的一般性质；不变流形；线性和非线性系统；闭轨；Poincaré-Bendixson 定理；二维流的 Peixoto 定理；线性和非线性映射；Poincaré 映射；理论、结构和例子。

第二章 结构稳定性

等价性和结构稳定性；环上微分方程；双曲理论；Arosov定理；Grobman-Hartman定理。

第三章 简化动力系统方法

中心流形定理（Liapunov-Schmidt 简化定理）；规范形。

第四章 扰动理论

局部方法：平均方法，奇异扰动方法；几何奇异摄动理论；全局扰动方法：Melnikov 方法，Silnikov 方法。

第五章 局部分支理论

向量场不动点的分支；映射不动点分支。

第六章 全局分支

Homoclinic 分支和 Heteroclinic 分支；Smale 马蹄；符号动力系统简介。

第七章 混沌与奇异吸引子

混沌的数学定义；通向混沌的道路；混沌的应用与控制。

注：第六，七章可作为补充教材。

教材：

V.I.Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer,1988.

主要参考书：

1. J.Guckenheimer，P. Homel, Nonlinear Oscillations, Dynamical System, and Bifurcation of Vector Fields, Springer, 1983.

2. S.Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, 1990.

3. K.T.Alligood, T.D.Sauer, J.A.York. Chaos-An Introduction to Dynamical Systems, Springer, 1997.

4. G. Chen, X.Dong. From Chaos to Order: Perspectives, Methodologies and Applications, Singapore, 1998.

V.I. Arnold 论数学教育（转）

V.I. Arnold 论数学教育（转）

发信人: starrynight (T&J), 信区: AUTO
标 题: V.I. Arnold 论数学教育
发信站: 瀚海星云 (2003年11月25日19:31:24 星期二), 站内信件

谨以此文献给那些教给过我操蛋数学的老师们。

发信人: Atiyah (铁拳无敌孙中山), 信区: Mathematics
标 题: V.I. Arnold 论数学教育（试译）(转载)
发信站: 瀚海星云 (2003年07月04日08:24:08 星期五), 站内信件

【 以下文字转载自 Science 讨论区 】
【 原文由 Atiyah 所发表 】

地点： Palais de Découverte in Paris
时间 1997年3月7日.

数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数
学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（
保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球
体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。

在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。
整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，
对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们
的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了
Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。

既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科
学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出
来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数
学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。
令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。

很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其
内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。
从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，
被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。
很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学
教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是
毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包
括俄罗斯）。

如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等
于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根
本不能理解你在问他（她）什么！

还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方
形，但还没有被证明”。

据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（
甚至包括那些在'高等师范学校'（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪
明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。

例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2
所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：
画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学
生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门
教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基
本技能。

那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理
和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等
人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾
丢掉，只是在我的干预下才得以保存。

ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），
却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓
扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理
）。他们仅仅学到了Hodge 构造以及 Jacobi 簇！

这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如 Lagrange ，
Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对
我而言，一个合理的解释来自 I.G. Petrovskii, 他在1966年曾教导过我: 真正的
数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方
面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本
质总是为了解决社会生存问题。

我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓
的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用（十分有用的东东啊！）

长久以来我一直对 Petrovskii 的话心存疑虑，但是现今我越来越肯定他说的
一点没错。那些超级抽象活动的相当大的部分正在堕落到以工业化的模式无耻的掠
夺那些发现者的成果，然后再加以系统地组织设计使自己成为万能的推广者。就彷
佛美丽坚所在的新大陆不以哥伦布命名一样，数学结果也几乎从未以它们真正的发
现者来命名。

为避免被认为我在胡说八道，我不得不在此声明我自己的一些成果由于莫名其
妙的原因就被以上述方式无偿征用，其实这样的事情经常在我的老师（Kolmogorov,
Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin）和学生身上发生。

M. Berry 教授曾经提出过如下两个原理：

Arnold 原理：如果某个理念中出现了某个人名，则这个人名必非发现此理念者
的名字。
Berry 原理：Arnold 原理适用于自身。

不过，我们还是说回法国的数学教育上来。当我还是莫斯科大学数力系的一年
级新生时，集合论的拓扑学家 L.A. Tumarkin 教我们微积分，他在课堂上很谨慎地
一遍又一遍地讲述古老而经典的Goursat 版的法语微积分教程。他告诉我们有理函
数沿着一条代数曲线的积分可以求出来如果该代数曲线对应的黎曼面时一个球面。
而一般来说，如果该曲面的亏格更高这样的积分将不可求，不过对球面而言，只要
在一个给定度数的曲线上有充分多的double points 就足够了（即要求该曲线是
unicursal ：即可以将其实点在射影平面上一笔画出来）。

这些事实给我们造成多么深刻的印象啊（即使没有给出证明），它们给了我们
非常优美而正确的现代数学的思想，比那些长篇累牍的Bourbaki学派的论著不知道
好到哪里去了。说真的，我们在这里看到了那些表面上完全不同的事物之间存在着
令人惊奇的联系：一方面，对于相应的黎曼面上的积分与拓扑存在着显式的表达式，
而另一方面，在 double points 的个数与相应的黎曼面的亏格之间也有重要的联系。

这样的例子并不鲜见，作为数学中最迷人的性质之一，Jacobi曾指出：用同一
个函数就既可以理解能表示为4个数平方和的整数的性质，又可以描述一个单摆的运
动。

这些不同种类的数学对象之间联系的发现，就好比在物理学中电与磁之间联系
的发现，也类同于地质学上对美洲大陆的东海岸与非洲大陆的西海岸之间相似性的
发现。

这些发现对于教学所具有的令人激动的非凡意义是无法估量的。正是它们指引
着我们去研究和发现宇宙中和谐而精彩的现象。

然而，数学教育的非几何化以及与物理学的分离却割断了这种联系。例如，不
仅仅学习数学的学生而且绝大部分的代数几何学家都对以下提及的Jacobi事实一无
所知：一个第一类型的椭圆积分表示了相应的哈密顿系统中沿某个椭圆相曲线的运
动所走的时间。

我们知道一个 hypocycloid 就如同多项式环中的理想一样是无穷无尽的。但
是如果要把理想这个概念教给一个从未见过任何 hypocycloid 的学生，就好比把
分数的加法教给一个从来没有把蛋糕或苹果等分切割过（至少在脑子里切过）的学
生。毫无疑问孩子们将会倾向于同时分子加分子分母加分母。

从我的法国朋友那里我听说这种超级抽象的一般化正是他们国家的传统特色。
如果说这可能是一个世袭的缺陷，我倒不会不赞成，不过我还是愿意强调那个从
Poincaré那儿借来的“蛋糕与苹果”的事实。

构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一
些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结
果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广
泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马
猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到底有多可靠的困难的阶段。

就这一点来说，数学界已经发展出了一套特别的技术。这种技术，当被运用于
现实世界时，有时候很有用，但有时候也会导致自欺欺人。这样的技术被称为“建
模”。当构造一个模型时，要进行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精
确性了解的事实，往往被认为是“绝对”正确的并被当作“公理”来接受。这种“
绝对性”的意义恰恰是，在把所有我们可以借助这些事实得出的结论称为定理的过
程中，我们允许自己依据形式逻辑的规则来运用这些“事实”。

显然在任何现实的日常生活中，我们的活动要完全依赖于这样的化减是不可能
的。原因至少在于所研究的现象的参数决不可能被绝对准确的知晓，并且参数的微
小变化（例如一个过程初始条件的微小改变）就会完全地改变结果。由于这个原因
我们可以说任何长期的天气预报都是不可能的，无论我们把计算机造的有多高级或
是记录初始条件地仪器有多灵敏，这永远也办不到。

与此完全一样的是，公理（那些我们不能完全确定的）的一个小小的改变虽是
容许的，一般来说，由那些被接受的公理推出的定理却将导出完全不同的结论。推
导的链（即所谓的“证明”）越长越复杂，最后得到的结论可靠性越低。复杂的模
型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。

数学建模的技术对这种麻烦一无所知，并且还不断地吹嘘他们得到的模型，似
乎它们真的就与现实世界吻合。事实上，从自然科学的观点看, 这种途径是显然不
正确的，但却经常导致很多物理上有用的被称为“有不可思议的有效性的数学”结
果（或叫做“Wigner原理”）。

我在此再提一下盖尔方德先生的一句话：还有另一类现象与以上Wigner所指的
物理中的数学具有相仿的不可思议的有效性，即生物学中用到的数学也是同样令人
难以置信的有效。

对一个物理学家而言，“数学教育所致的不易察觉的毒害作用”（F.Klein 原
话）恰恰体现在由现实世界抽离出的被绝对化了的模型，并且它与现实已不再相符。
这儿是一个简单的例子：数学知识告诉我们 Malthus 方程 dx/dt = x 的解是由初
始条件唯一决定的（也即相应的位于（t-x）－平面上积分曲线彼此不交）。这个数
学模型的结论显得与现实世界毫不相关。而计算机模拟却显示所有这些积分曲线在
t的负半轴上有公共点。事实上，具有初始条件 x(0) = 0 和 x(0) = 1的曲线在t=
-100 相交，其实在t=-100 时，你压根就不可能在两条曲线之间再插入一个原子。
欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述。在这种情况下来应用唯
一性定理显然已经超出了模型所能容许的精确程度。在对模型的实际运用中，这种
情形必须要加以注意，否则可能会导致严重的麻烦。

我还想说的是，相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段
必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则
整个靠岸的过程将会耗费无穷长的时间。而另外可行的方法则是与码头相撞（当然
船与码头之间要有非理想弹性物体以造成缓冲）。顺便说一下，我们必须非常重视
这类问题，例如，登陆月球和火星以及空间站的对接――此时唯一性问题都会让我
们头痛。

不幸的是，在现代数学的教科书里，即使是较好的一类课本里，对这种令人崇
拜的定理所隐藏的危险的事例或探讨都只字没有。我甚至已经形成了这样的印象，
那些学院派的数学家（对物理知识都一窍不通）都对公理化形式的数学与建模的主
要差异习以为常，而且他们觉得在自然科学中这是很普遍的，只是需要用后期的实
验来控制理论推演。

我想用不着去提什么初始公理的相对特征，人们也都不会忘记在冗长的论述里
犯逻辑错误是在所难免的（彷佛宇宙射线或量子振动所引发的计算崩溃）。每一个
还在工作的数学家都知道，如果不对自己有所控制（最好是用事例），那么在10页
论述之后所有公式中的记号有半数都会出问题。

与这样的谬误相抗的技术也同样存在于任何实验科学里，而且应该教给每一个
大学低年级的学生。

试图创造所谓的纯粹推导式的公理化数学的做法，使得我们不再运用物理学中
的研究方法（观察-建模－模型的研究－得出结论－用更多的观察检验模型）取而代
之的是这样的方法：定义－定理－证明。人们根本不可能理解一个毫无动机的定义，
但我们却无法阻止这些有罪的“代数－公理学家”。例如，他们总是想用长乘规则
的手段来定义自然数的乘积。但用这种方法乘法的交换性却难以证明，不过从一堆
的公理中仍有可能推导出这样的定理。而且完全可能逼着那些可怜的学生们来学习
这个定理以及它的证明（其目的不外乎是提升这门学科以及教授它的人的社会地位
）。显然，这种定义和这样的证明对教学和实际工作有百害而无一益。

理解乘法交换性的唯一可能的方式，打个比方就是分别按行序和列序来数一个
方阵里士兵的人数，或者说用两种方式来计算长方形的面积。任何试图只做不与物
理和现实世界打交道的数学都属于宗派主义和孤立主义，这必将损毁在所有敏感的
人们眼中把数学创造视为一项有用的人类活动的美好印象。

我将再揭示几个这样的秘密（可怜的学生们对此很有兴趣）。

一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条
边就对应矩阵的列。如果学生们得知了这个秘密（在纯粹的代数式的教育中，这个
秘密被仔细地隐藏了起来），那么行列式的整个理论都将成为多线性形式理论的一
部分。如果用别的方式来定义行列式，则任何敏感的人都将会永远恨死了诸如行列
式，Jacobi式，以及隐函数定理这些鬼东西。

一个群又是什么东东呢？代数学家们会这样来教学：这是一个假设的集合，具
有两种运算，它们满足一组容易让人忘记的公理。这个定义很容易激起一个自然的
抗议：任何一个敏感的人为何会需要这一对运算？“哦，这种数学去死吧”――这
就是学生的反应（他很可能将来就成为了科学强人）。

如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则
我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的集合被称为一个
群，其中任何两个变换的复合仍在此集合内并且每个变换的逆变换也如此。

这就是定义的关键所在。那所谓的“公理”事实上不过是变换群所具有的显然
的性质。公理化的倡导者所称的“抽象群”不过是在允许相差同构（保持运算的一
一映射）意义下的不同集合的变换群。正如 Cayley证明的，在这个世界上根本就没
有“更抽象的”群。那么为什么那些代数学家仍要用抽象的定义来折磨这些饱受痛
苦的学生们呢？

顺便提一句，在上世纪60年代我曾给莫斯科的中小学生们讲授群论。我回避了
任何的公理，尽可能的让内容贴近物理，在半年内我就教给了他们关于一般的五次
方程不可解性的Abel 定理（以同样的方式，我还教给了小学生们复数，黎曼曲面，
基本群以及代数函数的monodromy 群）。这门课程的内容后来由我的一个听众
V. Alekseev 组织出版了，名为The Abel theorem in problems.

一个光滑流形又是什么东东呢？最近我从一本美国人的书中得知庞加莱对此概
念并不精通（尽管是由他引入的），而所谓“现代的”定义直到上世纪20年代才由
Veblen给出：一个流形是一个拓扑空间满足一长串的公理。

学生们到底犯了什么罪过必须经受这些扭曲和变形的公理的折磨来理解这个概
念？事实上，在庞加莱的原著《位置分析》（Analysis Situs）中，有一个光滑流
形的绝对清晰的定义，它要比这种抽象的玩意儿有用的多。

一个欧式空间R^N 中的k-维光滑子流形是一个这样的子集，其每一点的一个邻
域是一个从R^k到R^(N-k)的光滑映射的图象（其中R^k 和 R^(N - k) 是坐标子空间
）。这样的定义是对平面上大多数通常的光滑曲线（如 圆环 x^2 + y^2 = 1）或
三维空间中曲线和曲面的直接的推广。

光滑流形之间的光滑映射则是自然定义的。所谓微分同胚则是光滑的映射且其
逆也光滑。

而所谓“抽象的”光滑流形就是欧式空间的允许相差一个微分同胚意义下的光
滑子流形。世界上根本不存在所谓“更抽象的”有限维的光滑流形（Whitney 定理
）。为什么我们总是要用抽象的定义来折磨学生们呢？把闭二维流形（曲面）的分
类定理证给学生们看不是更好吗？恰恰是这样的精彩定理（即任何紧的连通的可定
向的曲面都是一个球面外加若干个环柄似的把手）使我们对现代数学是什么有了一
个正确的印象，相反的是，那些对欧式空间的简单的子流形所做的超级抽象的推广，
事实上压根没有给出任何新的东东，不过是用来展示一下那些公理化学者们成就的
蹩脚货。

对曲面的分类定理是顶级的数学成就，堪与美洲大陆或X 射线的发现媲美。这
是数学科学里一个真正的发现，我们甚至难以说清到底所发现的这个事实本身对物
理学和数学哪一个的贡献更大。它对应用以及对发展正确的世界观的非凡意义目前
已超越了数学中的其他的“成就”，诸如对费马大定理的证明，以及对任何充分大
的整数都能表示成三个素数和这类事实的证明。为了出风头，当代的数学家有时候
总要展示一些“运动会式的”成就，并声称那就是他们的学科里最后的难题。可想
而知，这样的做法不仅无助于社会对数学的欣赏，而且恰恰相反，会使人们产生怀
疑：对于这样的毫无用处的跳脱衣舞般的问题，有必要耗费能量来做这些（彷佛攀
岩似的）练习吗？

曲面的分类定理应该被包含在高中数学的课程里（可以不用证明），但不知为
什么就连大学数学的课程里也找不到（顺便一下，在法国近几十年来说有的几何课
程都被禁止）。

在各个层次上，数学教育由学院的特征转回到表述自然科学的重要性的特征，对
法国而言是一个及其热点的问题。使我感到很震惊的是那些最好的也是最重要的条
理清晰的数学书，在这儿几乎都不为学生们所知（而依我看它们还没有被译成法语
）。这些书中有Rademacher和Touml写的《Numbers and figures》；Hilbert和
Cohn-Vossen写的《plitz, Geometry and the imagination》；Courant和Robbins
写的《What ismathematics?》；Polya写的《How to solve it》和《Mathematics
and plausiblereasoning 》； F. Klein写的《Development of mathematics in
the19th century 》。

我清晰地记得在学校时，Hermite 写的微积分教程（有俄语译本）给我留下了
多么强烈的印象。我记得在其最开始的一篇讲义中就出现了黎曼曲面（当然所有分
析的内容都是针对复变量的，也本该如此）。而积分渐进的内容是通过黎曼曲面上
道路形变的方法来研究（如今，我们称此方法为Picard-Lefschetz 理论;顺便提一
下，Picard是Hermite的女婿――数学能力往往是由女婿来传承：Hadamard-P. Levy
-L. Schwarz-U. Frisch这个王朝就是巴黎科学院中另一个这样的范例）。

由Hermite 一百多年前所写的所谓的“过时的”教程（也许早就被法国大学的
学生图书馆当垃圾扔掉了）实际上要比那些如今折磨学生们的最令人厌烦的微积分
课本现代化的多。

如果数学家们再不睡醒，那么那些对现代的（最正面意义上的）数学理论仍有
需要，同时又对那些毫无用处的公理化特征具有免疫力（这是任何敏锐的人所具有
的特征）的消费者们会毫不犹豫的将这些学校里的受教育不足的学究们扫地出门。

一个数学教师，如果至今还没有掌握至少几卷Landau 和 Lifshitz 著的物理学
教程，他（她）必将成为一个数学界的希罕的残存者，就好似如今一个仍不知道开

集与闭集差别的人。

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On teaching mathematics

by V.I. Arnold

This is an extended text of the address at the discussion on teaching of mathematics in Palais de D閏ouverte in Paris on 7 March 1997.

Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.

The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.

In the middle of the twentieth century it was attempted to divide physics and mathematics. The consequences turned out to be catastrophic. Whole generations of mathematicians grew up without knowing half of their science and, of course, in total ignorance of any other sciences. They first began teaching their ugly scholastic pseudo-mathematics to their students, then to schoolchildren (forgetting Hardy's warning that ugly mathematics has no permanent place under the Sun).

Since scholastic mathematics that is cut off from physics is fit neither for teaching nor for application in any other science, the result was the universal hate towards mathematicians - both on the part of the poor schoolchildren (some of whom in the meantime became ministers) and of the users.

The ugly building, built by undereducated mathematicians who were exhausted by their inferiority complex and who were unable to make themselves familiar with physics, reminds one of the rigorous axiomatic theory of odd numbers. Obviously, it is possible to create such a theory and make pupils admire the perfection and internal consistency of the resulting structure (in which, for example, the sum of an odd number of terms and the product of any number of factors are defined). From this sectarian point of view, even numbers could either be declared a heresy or, with passage of time, be introduced into the theory supplemented with a few "ideal" objects (in order to comply with the needs of physics and the real world).

Unfortunately, it was an ugly twisted construction of mathematics like the one above which predominated in the teaching of mathematics for decades. Having originated in France, this pervertedness quickly spread to teaching of foundations of mathematics, first to university students, then to school pupils of all lines (first in France, then in other countries, including Russia).

To the question "what is 2 + 3" a French primary school pupil replied: "3 + 2, since addition is commutative". He did not know what the sum was equal to and could not even understand what he was asked about!

Another French pupil (quite rational, in my opinion) defined mathematics as follows: "there is a square, but that still has to be proved".

Judging by my teaching experience in France, the university students' idea of mathematics (even of those taught mathematics at the 蒫ole Normale Sup閞ieure - I feel sorry most of all for these obviously intelligent but deformed kids) is as poor as that of this pupil.

For example, these students have never seen a paraboloid and a question on the form of the surface given by the equation xy = z^2 puts the mathematicians studying at ENS into a stupor. Drawing a curve given by parametric equations (like x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2) on a plane is a totally impossible problem for students (and, probably, even for most French professors of mathematics).

Beginning with l'Hospital's first textbook on calculus ("calculus for understanding of curved lines") and roughly until Goursat's textbook, the ability to solve such problems was considered to be (along with the knowledge of the times table) a necessary part of the craft of every mathematician.

Mentally challenged zealots of "abstract mathematics" threw all the geometry (through which connection with physics and reality most often takes place in mathematics) out of teaching. Calculus textbooks by Goursat, Hermite, Picard were recently dumped by the student library of the Universities Paris 6 and 7 (Jussieu) as obsolete and, therefore, harmful (they were only rescued by my intervention).

ENS students who have sat through courses on differential and algebraic geometry (read by respected mathematicians) turned out be acquainted neither with the Riemann surface of an elliptic curve y^2 = x^3 + ax + b nor, in fact, with the topological classification of surfaces (not even mentioning elliptic integrals of first kind and the group property of an elliptic curve, that is, the Euler-Abel addition theorem). They were only taught Hodge structures and Jacobi varieties!

How could this happen in France, which gave the world Lagrange and Laplace, Cauchy and Poincar? Leray and Thom? It seems to me that a reasonable explanation was given by I.G. Petrovskii, who taught me in 1966: genuine mathematicians do not gang up, but the weak need gangs in order to survive. They can unite on various grounds (it could be super-abstractness, anti-Semitism or "applied and industrial" problems), but the essence is always a solution of the social problem - survival in conditions of more literate surroundings.

By the way, I shall remind you of a warning of L. Pasteur: there never have been and never will be any "applied sciences", there are only applications of sciences (quite useful ones!).

In those times I was treating Petrovskii's words with some doubt, but now I am being more and more convinced of how right he was. A considerable part of the super-abstract activity comes down simply to industrialising shameless grabbing of discoveries from discoverers and then systematically assigning them to epigons-generalizers. Similarly to the fact that America does not carry Columbus's name, mathematical results are almost never called by the names of their discoverers.

In order to avoid being misquoted, I have to note that my own achievements were for some unknown reason never expropriated in this way, although it always happened to both my teachers (Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) and my pupils. Prof. M. Berry once formulated the following two principles:

The Arnold Principle. If a notion bears a personal name, then this name is not the name of the discoverer.

The Berry Principle. The Arnold Principle is applicable to itself.

Let's return, however, to teaching of mathematics in France.

When I was a first-year student at the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Moscow State University, the lectures on calculus were read by the set-theoretic topologist L.A. Tumarkin, who conscientiously retold the old classical calculus course of French type in the Goursat version. He told us that integrals of rational functions along an algebraic curve can be taken if the corresponding Riemann surface is a sphere and, generally speaking, cannot be taken if its genus is higher, and that for the sphericity it is enough to have a sufficiently large number of double points on the curve of a given degree (which forces the curve to be unicursal: it is possible to draw its real points on the projective plane with one stroke of a pen).

These facts capture the imagination so much that (even given without any proofs) they give a better and more correct idea of modern mathematics than whole volumes of the Bourbaki treatise. Indeed, here we find out about the existence of a wonderful connection between things which seem to be completely different: on the one hand, the existence of an explicit expression for the integrals and the topology of the corresponding Riemann surface and, on the other hand, between the number of double points and genus of the corresponding Riemann surface, which also exhibits itself in the real domain as the unicursality.

Jacobi noted, as mathematics' most fascinating property, that in it one and the same function controls both the presentations of a whole number as a sum of four squares and the real movement of a pendulum.

These discoveries of connections between heterogeneous mathematical objects can be compared with the discovery of the connection between electricity and magnetism in physics or with the discovery of the similarity between the east coast of America and the west coast of Africa in geology.

The emotional significance of such discoveries for teaching is difficult to overestimate. It is they who teach us to search and find such wonderful phenomena of harmony of the Universe.

The de-geometrisation of mathematical education and the divorce from physics sever these ties. For example, not only students but also modern algebro-geometers on the whole do not know about the Jacobi fact mentioned here: an elliptic integral of first kind expresses the time of motion along an elliptic phase curve in the corresponding Hamiltonian system.

Rephrasing the famous words on the electron and atom, it can be said that a hypocycloid is as inexhaustible as an ideal in a polynomial ring. But teaching ideals to students who have never seen a hypocycloid is as ridiculous as teaching addition of fractions to children who have never cut (at least mentally) a cake or an apple into equal parts. No wonder that the children will prefer to add a numerator to a numerator and a denominator to a denominator.

From my French friends I heard that the tendency towards super-abstract generalizations is their traditional national trait. I do not entirely disagree that this might be a question of a hereditary disease, but I would like to underline the fact that I borrowed the cake-and-apple example from Poincar?

The scheme of construction of a mathematical theory is exactly the same as that in any other natural science. First we consider some objects and make some observations in special cases. Then we try and find the limits of application of our observations, look for counter-examples which would prevent unjustified extension of our observations onto a too wide range of events (example: the number of partitions of consecutive odd numbers 1, 3, 5, 7, 9 into an odd number of natural summands gives the sequence 1, 2, 4, 8, 16, but then comes 29).

As a result we formulate the empirical discovery that we made (for example, the Fermat conjecture or Poincar?conjecture) as clearly as possible. After this there comes the difficult period of checking as to how reliable are the conclusions .

At this point a special technique has been developed in mathematics. This technique, when applied to the real world, is sometimes useful, but can sometimes also lead to self-deception. This technique is called modelling. When constructing a model, the following idealisation is made: certain facts which are only known with a certain degree of probability or with a certain degree of accuracy, are considered to be "absolutely" correct and are accepted as "axioms". The sense of this "absoluteness" lies precisely in the fact that we allow ourselves to use these "facts" according to the rules of formal logic, in the process declaring as "theorems" all that we can derive from them.

It is obvious that in any real-life activity it is impossible to wholly rely on such deductions. The reason is at least that the parameters of the studied phenomena are never known absolutely exactly and a small change in parameters (for example, the initial conditions of a process) can totally change the result. Say, for this reason a reliable long-term weather forecast is impossible and will remain impossible, no matter how much we develop computers and devices which record initial conditions.

In exactly the same way a small change in axioms (of which we cannot be completely sure) is capable, generally speaking, of leading to completely different conclusions than those that are obtained from theorems which have been deduced from the accepted axioms. The longer and fancier is the chain of deductions ("proofs"), the less reliable is the final result.

Complex models are rarely useful (unless for those writing their dissertations).

The mathematical technique of modelling consists of ignoring this trouble and speaking about your deductive model in such a way as if it coincided with reality. The fact that this path, which is obviously incorrect from the point of view of natural science, often leads to useful results in physics is called "the inconceivable effectiveness of mathematics in natural sciences" (or "the Wigner principle").

Here we can add a remark by I.M. Gel'fand: there exists yet another phenomenon which is comparable in its inconceivability with the inconceivable effectiveness of mathematics in physics noted by Wigner - this is the equally inconceivable ineffectiveness of mathematics in biology.

"The subtle poison of mathematical education" (in F. Klein's words) for a physicist consists precisely in that the absolutised model separates from the reality and is no longer compared with it. Here is a simple example: mathematics teaches us that the solution of the Malthus equation dx/dt = x is uniquely defined by the initial conditions (that is that the corresponding integral curves in the (t,x)-plane do not intersect each other). This conclusion of the mathematical model bears little relevance to the reality. A computer experiment shows that all these integral curves have common points on the negative t-semi-axis. Indeed, say, curves with the initial conditions x(0) = 0 and x(0) = 1 practically intersect at t = -10 and at t = -100 you cannot fit in an atom between them. Properties of the space at such small distances are not described at all by Euclidean geometry. Application of the uniqueness theorem in this situation obviously exceeds the accuracy of the model. This has to be respected in practical application of the model, otherwise one might find oneself faced with serious troubles.

I would like to note, however, that the same uniqueness theorem explains why the closing stage of mooring of a ship to the quay is carried out manually: on steering, if the velocity of approach would have been defined as a smooth (linear) function of the distance, the process of mooring would have required an infinitely long period of time. An alternative is an impact with the quay (which is damped by suitable non-ideally elastic bodies). By the way, this problem had to be seriously confronted on landing the first descending apparata on the Moon and Mars and also on docking with space stations - here the uniqueness theorem is working against us.

Unfortunately, neither such examples, nor discussing the danger of fetishising theorems are to be met in modern mathematical textbooks, even in the better ones. I even got the impression that scholastic mathematicians (who have little knowledge of physics) believe in the principal difference of the axiomatic mathematics from modelling which is common in natural science and which always requires the subsequent control of deductions by an experiment.

Not even mentioning the relative character of initial axioms, one cannot forget about the inevitability of logical mistakes in long arguments (say, in the form of a computer breakdown caused by cosmic rays or quantum oscillations). Every working mathematician knows that if one does not control oneself (best of all by examples), then after some ten pages half of all the signs in formulae will be wrong and twos will find their way from denominators into numerators.

The technology of combatting such errors is the same external control by experiments or observations as in any experimental science and it should be taught from the very beginning to all juniors in schools.

Attempts to create "pure" deductive-axiomatic mathematics have led to the rejection of the scheme used in physics (observation - model - investigation of the model - conclusions - testing by observations) and its substitution by the scheme: definition - theorem - proof. It is impossible to understand an unmotivated definition but this does not stop the criminal algebraists-axiomatisators. For example, they would readily define the product of natural numbers by means of the long multiplication rule. With this the commutativity of multiplication becomes difficult to prove but it is still possible to deduce it as a theorem from the axioms. It is then possible to force poor students to learn this theorem and its proof (with the aim of raising the standing of both the science and the persons teaching it). It is obvious that such definitions and such proofs can only harm the teaching and practical work.

It is only possible to understand the commutativity of multiplication by counting and re-counting soldiers by ranks and files or by calculating the area of a rectangle in the two ways. Any attempt to do without this interference by physics and reality into mathematics is sectarianism and isolationism which destroy the image of mathematics as a useful human activity in the eyes of all sensible people.

I shall open a few more such secrets (in the interest of poor students).

The determinant of a matrix is an (oriented) volume of the parallelepiped whose edges are its columns. If the students are told this secret (which is carefully hidden in the purified algebraic education), then the whole theory of determinants becomes a clear chapter of the theory of poly-linear forms. If determinants are defined otherwise, then any sensible person will forever hate all the determinants, Jacobians and the implicit function theorem.

What is a group? Algebraists teach that this is supposedly a set with two operations that satisfy a load of easily-forgettable axioms. This definition provokes a natural protest: why would any sensible person need such pairs of operations? "Oh, curse this maths" - concludes the student (who, possibly, becomes the Minister for Science in the future).

We get a totally different situation if we start off not with the group but with the concept of a transformation (a one-to-one mapping of a set onto itself) as it was historically. A collection of transformations of a set is called a group if along with any two transformations it contains the result of their consecutive application and an inverse transformation along with every transformation.

This is all the definition there is. The so-called "axioms" are in fact just (obvious) properties of groups of transformations. What axiomatisators call "abstract groups" are just groups of transformations of various sets considered up to isomorphisms (which are one-to-one mappings preserving the operations). As Cayley proved, there are no "more abstract" groups in the world. So why do the algebraists keep on tormenting students with the abstract definition?

By the way, in the 1960s I taught group theory to Moscow schoolchildren. Avoiding all the axiomatics and staying as close as possible to physics, in half a year I got to the Abel theorem on the unsolvability of a general equation of degree five in radicals (having on the way taught the pupils complex numbers, Riemann surfaces, fundamental groups and monodromy groups of algebraic functions). This course was later published by one of the audience, V. Alekseev, as the book The Abel theorem in problems.

What is a smooth manifold? In a recent American book I read that Poincar?was not acquainted with this (introduced by himself) notion and that the "modern" definition was only given by Veblen in the late 1920s: a manifold is a topological space which satisfies a long series of axioms.

For what sins must students try and find their way through all these twists and turns? Actually, in Poincar?s Analysis Situs there is an absolutely clear definition of a smooth manifold which is much more useful than the "abstract" one.

A smooth k-dimensional submanifold of the Euclidean space R^N is its subset which in a neighbourhood of its every point is a graph of a smooth mapping of R^k into R^(N - k) (where R^k and R^(N - k) are coordinate subspaces). This is a straightforward generalization of most common smooth curves on the plane (say, of the circle x^2 + y^2 = 1) or curves and surfaces in the three-dimensional space.

Between smooth manifolds smooth mappings are naturally defined. Diffeomorphisms are mappings which are smooth, together with their inverses.

An "abstract" smooth manifold is a smooth submanifold of a Euclidean space considered up to a diffeomorphism. There are no "more abstract" finite-dimensional smooth manifolds in the world (Whitney's theorem). Why do we keep on tormenting students with the abstract definition? Would it not be better to prove them the theorem about the explicit classification of closed two-dimensional manifolds (surfaces)?

It is this wonderful theorem (which states, for example, that any compact connected oriented surface is a sphere with a number of handles) that gives a correct impression of what modern mathematics is and not the super-abstract generalizations of naive submanifolds of a Euclidean space which in fact do not give anything new and are presented as achievements by the axiomatisators.

The theorem of classification of surfaces is a top-class mathematical achievement, comparable with the discovery of America or X-rays. This is a genuine discovery of mathematical natural science and it is even difficult to say whether the fact itself is more attributable to physics or to mathematics. In its significance for both the applications and the development of correct Weltanschauung it by far surpasses such "achievements" of mathematics as the proof of Fermat's last theorem or the proof of the fact that any sufficiently large whole number can be represented as a sum of three prime numbers.

For the sake of publicity modern mathematicians sometimes present such sporting achievements as the last word in their science. Understandably this not only does not contribute to the society's appreciation of mathematics but, on the contrary, causes a healthy distrust of the necessity of wasting energy on (rock-climbing-type) exercises with these exotic questions needed and wanted by no one.

The theorem of classification of surfaces should have been included in high school mathematics courses (probably, without the proof) but for some reason is not included even in university mathematics courses (from which in France, by the way, all the geometry has been banished over the last few decades).

The return of mathematical teaching at all levels from the scholastic chatter to presenting the important domain of natural science is an espessially hot problem for France. I was astonished that all the best and most important in methodical approach mathematical books are almost unknown to students here (and, seems to me, have not been translated into French). Among these are Numbers and figures by Rademacher and T鰌litz, Geometry and the imagination by Hilbert and Cohn-Vossen, What is mathematics? by Courant and Robbins, How to solve it and Mathematics and plausible reasoning by Polya, Development of mathematics in the 19th century by F. Klein.

I remember well what a strong impression the calculus course by Hermite (which does exist in a Russian translation!) made on me in my school years.

Riemann surfaces appeared in it, I think, in one of the first lectures (all the analysis was, of course, complex, as it should be). Asymptotics of integrals were investigated by means of path deformations on Riemann surfaces under the motion of branching points (nowadays, we would have called this the Picard-Lefschetz theory; Picard, by the way, was Hermite's son-in-law - mathematical abilities are often transferred by sons-in-law: the dynasty Hadamard - P. Levy - L. Schwarz - U. Frisch is yet another famous example in the Paris Academy of Sciences).

The "obsolete" course by Hermite of one hundred years ago (probably, now thrown away from student libraries of French universities) was much more modern than those most boring calculus textbooks with which students are nowadays tormented.

If mathematicians do not come to their senses, then the consumers who preserved a need in a modern, in the best meaning of the word, mathematical theory as well as the immunity (characteristic of any sensible person) to the useless axiomatic chatter will in the end turn down the services of the undereducated scholastics in both the schools and the universities.

A teacher of mathematics, who has not got to grips with at least some of the volumes of the course by Landau and Lifshitz, will then become a relict like the one nowadays who does not know the difference between an open and a closed set.

V.I. Arnold

Translated by A.V. GORYUNOV