常微分方程的几何理论

Geometrical Theory in Ordinary Differential Equations

课程编号：S070101Z08 课程属性：专业课 学时/学分：60/3

预修课程：数学分析、线性代数、常微分方程、点集拓扑

教学目的和要求：

本课程为从事动力系统理论和天体力学研究的硕士，博士研究生的专业课，同时也可作为从事物理，化学，生物，工程和经济等学科研究的硕士，博士研究生的选修课。

本课程主要内容为常微分方程定性理论，主要的扰动方法，简化动力系统方法，结构稳定性，分支和混沌理论初步。通过本课程的学习，希望学生初步掌握研究微分方程和动力系统的基本思想和方法，并为深入研究动力系统理论，分支和混沌理论打下理论基础。

内容提要：

第一章 引言-微分方程和动力系统

向量场的一般性质；不变流形；线性和非线性系统；闭轨；Poincaré-Bendixson 定理；二维流的 Peixoto 定理；线性和非线性映射；Poincaré 映射；理论、结构和例子。

第二章 结构稳定性

等价性和结构稳定性；环上微分方程；双曲理论；Arosov定理；Grobman-Hartman定理。

第三章 简化动力系统方法

中心流形定理（Liapunov-Schmidt 简化定理）；规范形。

第四章 扰动理论

局部方法：平均方法，奇异扰动方法；几何奇异摄动理论；全局扰动方法：Melnikov 方法，Silnikov 方法。

第五章 局部分支理论

向量场不动点的分支；映射不动点分支。

第六章 全局分支

Homoclinic 分支和 Heteroclinic 分支；Smale 马蹄；符号动力系统简介。

第七章 混沌与奇异吸引子

混沌的数学定义；通向混沌的道路；混沌的应用与控制。

注：第六，七章可作为补充教材。

教材：

V.I.Arnold, Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations, Springer,1988.

主要参考书：

1. J.Guckenheimer，P. Homel, Nonlinear Oscillations, Dynamical System, and Bifurcation of Vector Fields, Springer, 1983.

2. S.Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, 1990.

3. K.T.Alligood, T.D.Sauer, J.A.York. Chaos-An Introduction to Dynamical Systems, Springer, 1997.

4. G. Chen, X.Dong. From Chaos to Order: Perspectives, Methodologies and Applications, Singapore, 1998.